A propos des nombres de Conway :
Lettre à un ami

Pour  viter les paradoxes de la th orie naissante des ensembles  rig e par Cantor, on a us  de diverses axiomatisations. Tu connais celle de Zermelo et Fraenkel. Il en est une, d crite en appendice dans le livre de Topologie g n rale de Kelley o  il pr cise que c’est une variante des syst mes de Skolem et de A.P. Morse. Au c t  des ensembles proprement dit, il y a les classes que l’on d signe ainsi sous forme de classificateurs, $\{x:\varphi(x)\}$, ce qui se lit comme suit : la classe des objets $x$ qui v rifient la condition $\varphi(x)$. Un ensemble est une classe, mais il y a des classes qui ne sont pas des ensembles ! Je ne vais pas m’ tendre davantage l -dessus, tu as saisis, j’en suis s r.

Chez Bourbaki, un ensemble est d fini par une relation collectivisante. Si la relation n’est pas collectivisante elle d finit une classe qui n’est pas un ensemble. Dans la th orie des ensembles,   la Bourbaki, les nombres ordinaux, $0,1,2,\dots,\omega,\omega+1,\dots,\omega 2,\omega 2+1,\dots,$ ayant  t  d fini, on montre qu’ils ne forment pas un ensemble car cela introduirait une contradiction : on parle ainsi de la classe des nombres ordinaux et pas de leur ensemble. Bien entendu, les ordinaux inf rieurs   un ordinal donn  $\alpha$ si grand soit-il forment bien un ensemble; l’ensemble $[0,\alpha[$ est un segment initial de la classe des ordinaux !

Dans ma pr sentation, en place de l’expression «nombres de Conway», je dirai plus simplement, et bri vement, les nombres. Je parlerai ainsi des nombres puis de leurs noms.

Les coupures de Dedekind sont un outil bien connu qui sert   construire le corps $\mathbb{R}$ des nombres r els   partir du corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels. On les trouvent dans la plupart des manuels d’analyse.

$x\leqslant x$

$x\leqslant y\ \text{et}\ y\leqslant z\implies x\leqslant z$

$x\leqslant y\ \text{et}\ y\leqslant x\implies x=y$

on a toujours $x\leqslant y\ \text{ou}\ y\leqslant x$, l’un ou l’autre ou les deux   la fois.

[Il s’agit du ou inclusif pas du ou exclusif.]

L’ensemble $\cal C(E)$ des coupures dans $E$ est muni, d’une mani re naturelle, d’une relation d’ordre totale comme suit. Etant donn es $(A|B)$ et $(C|D)$, deux coupures dans $E$, on  crit $(A|B)\leqslant(C|D)$ lorsque l’on a $A\subset C$. On v rifie [il faut le faire soi-m me] que c’est bien une relation d’ordre totale sur l’ensemble $\cal C(E)$.

Soit alors $\cal A=E\cup\cal C(E)$, la r union de l’ensemble totalement ordonn  $E$ et de l’ensemble totalement ordonn  $\cal C(E)$ des coupures dans $E$. Soient $x\in E$ et $c=(A|B)\in\cal C(E)$; il n’y a que deux possiblit s pour $x$ : ou bien $x$ appartient   la partie $A$, ou bien $x$ appartient   la partie $B$ car $(A|B)$ est une coupure. Si $x\in A$, on  crit $x\leqslant c$ et si $x\in B$, on  crit $c\leqslant x$.

Soient $X$ et $Y$ deux parties quelconques d’un ensemble totalement ordonn  et soit $z$ un des  l ments de cet ensemble. Lorsque l’on a $x<z$ pour chaque $x\in X$, on  crit $X<z$, pour abr ger. De m me, $z<Y$ est une abr viation de ($z<y$ pour chaque $y\in Y$). On  crit $X<Y$ pour dire que, pour tout $x\in X$ et tout $y\in Y$, on a $x<y$. De m me, on  crira $X\leqslant Y$ lorsque l’on a $x\leqslant y$, pour tout $x\in X$ et tout $y\in Y$.

Par d finition, un corps ordonn  est un corps commutatif $K$ muni d’une relation d’ordre total, $\leqslant$, compatible avec la structure de corps. Ce qui veut dire que, pour tous  l ments $x,y,z,$ de $K$, on a :

$$x\leqslant y\implies x+z\leqslant y+z$$

$$x\geqslant 0\ \text{et}\ y\geqslant 0\implies xy\geqslant 0.$$

Parmi les corps ordonn s, on en distingue certains que Bourbaki nomme les corps ordonn s maximaux et que l’on appelle aussi, couramment, les corps r ellement clos. L’exemple type de corps ordonn  maximal est le corps $\mathbb{R}$ des nombres r els. La th orie bien connue des corps ordonn s maximaux dit, en particulier, que tout corps ordonn  se plonge (se prolonge) en un corps ordonn  maximal. C’est ainsi que le corps ordonn  des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ est plong  dans le sous-corps r ellement clos de $\mathbb{R}$ form  des nombres alg briques r els.

On distingue, en particulier, deux types d’intervalles : l’intervalle ferm  $[x,y]$ et l’intervalle ouvert $]x,y[$. Par d finition, l’intervalle ouvert $]x,y[$ est l’ensemble des  l ments $z$ tels que $x<z<y$. L’intervalle ferm  $[x,y]$ est l’ensemble des  l ments $z$ tels que $x\leqslant z\leqslant y$. Le premier est contenu dans le second. Ils peuvent  tre vides ! et, par exemple, l’intervalle $[x,y]$ l’est si et seulement si l’on a $y<x$.

$\mathbb{N}$  ensemble des entiers naturels  ,  $\mathbb{Z}$ anneau des entiers relatifs  ,  $\mathbb{Q}$ corps des nombres rationnels  ,  $\mathbb{R}$ corps des nombres r els.

$\mathsf{S}$   classe des nombres  ,   $\mathsf{M}$  classe des noms  ,  $\mathsf{O}$  classe des ordinaux.

Soient $\mathsf{X}$, $\mathsf{Y}$, deux sous-classes d’une m me classe totalement ordonn e. On dit que $\mathsf{Y}$ est cofinale   $\mathsf{X}$ lorsque, pour chaque $x\in\mathsf{X}$, il existe un $y\in\mathsf{Y}$ tel que $x\leqslant y$. On dit que les deux sous-classes, $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$, sont cofinales lorsque, chacune est cofinale   l’autre [pour chaque $x\in\mathsf{X}$, il existe un $y\in\mathsf{Y}$ tel que $x\leqslant y$ et, vice versa, pour chaque $y\in\mathsf{Y}$, un $x\in\mathsf{X}$ tel que $y\leqslant x$]. On dit que $\mathsf{X}$ et $\mathsf{Y}$ sont co nitiales lorsqu’elles sont cofinales pour l’ordre total $\geqslant$ inverse. Bien entendu, on dit que $\mathsf{Y}$ est co nitiale   $\mathsf{X}$ lorsqu’elle lui est cofinale pour l’ordre inverse !

On construit la classe $\mathsf{S}$ par r currence, une r currence transfinie.

Dans le Prologue, on a dit comment on ordonne $S_{\alpha}$, l’ensemble des coupures, de mani re naturelle, et comment on d finit l’ordre total sur $T_{\alpha}\cup S_{\alpha}$ par amalgame ! Les nombres nouvellement cr  s   l’ tape $\alpha$ constituent l’ensemble $S_{\alpha}$ : c’est la g n ration $\alpha$. L’ensemble $T_{\alpha}$ est la r union des g n rations pr c dentes, $S_{\beta}$ pour $\beta<\alpha$.

Chaque g n ration $\alpha$ est un ensemble de nombres. Parmi eux, il y en a un plus grand que tous les autres, $(T_{\alpha}|\ )$, de sorte que le nombre $-(T_{\alpha}|\ )=(\ |T_{\alpha})$ est le plus petit de sa g n ration. On identifie le nombre $(T_{\alpha}|\ )$ au nombre ordinal $\alpha$, de sorte que $\mathsf{O}$, la classe des ordinaux, se pr sente comme une sous-classe de la classe $\mathsf{S}$ des nombres. Comme on l’a mentionn  plus haut, ces deux classes sont cofinales !

Entre deux nombres $x<y$ d’une m me g n ration $\alpha$ donn e, il y a toujours un nombre $z$ plus vieux, c’est   dire d’une g n ration ant rieure, $\beta<\alpha$.

Soient $x=(A|B)<y=(C,D)$ deux nombres d’une m me g n ration $\alpha$. On a $A\subset C\subset T_{\alpha}$ et $A\neq C$, par d finition. Il existe donc au moins un nombre $z\in C\smallsetminus A\subset T_{\alpha}$ : ce $z$ est donc d’une g n ration $\beta$ pr c dant $\alpha$, autrement dit, $\beta<\alpha$, et $z\in B$ de sorte que l’on a $x<z<y$, d’apr s les d finitions !∎

Soient $X,Y$, deux ensembles de nombres tels que $X<Y$. Il existe au moins un nombre $z$ pour lequel on a $X<z<Y$ et, parmi tous ces nombres, il en existe un, et un seul, plus vieux que les autres. On dira que c’est le nombre m diateur entre $X$ et $Y$.

On se souvient que la classe $\mathsf{O}$ des nombres ordinaux est bien ordonn e et que $g(z)$ d signe le num ro de la g n ration du nombre $z$. Les $g(z)$, pour $z\in X\cup Y$, forment un ensemble $G$ de nombres ordinaux puisque $X\cup Y$ est un ensemble, de sorte qu’il existe des ordinaux $\gamma$ tels que $\gamma>G$ et parmi ceux-l  un plus petit que tous les autres !

Soit $\alpha$ le plus petit ordinal tel que l’on ait $g(z)<\alpha$ pour tout $z\in X\cup Y$.

On a ainsi $X\subset T_{\alpha}\ \text{et}\ Y\subset T_{\alpha}$ et il existe un couple (parfois m me plusieurs) de parties $A,B$, de $T_{\alpha}$ tels que l’on ait

$$X\subset A\ ,\ Y\subset B\ ,\ A\cap B=\emptyset\ ,\ A\cup B=T_{\alpha},$$

de sorte que $z=(A|B)$ est une coupure dans l’ensemble $T_{\alpha}$, autrement dit $z$ est un nombre de g n ration $\alpha$ et l’on a ainsi $X<z<Y$, d’apr s les d finitions ! Parmi ces $z$, il y en a un seul plus vieux que tous les autres, d’apr s le lemme ci-dessus car, s’il y en avait deux distincts ils seraient de la m me g n ration ! ∎

On dit qu’un couple donn , $X,Y$, quelconque, d’ensembles de nombres est un nom lorsque que l’on a $X<Y$. Pour le noter, on utilisera le symbole $\{X|Y\}$. La notion et la notation sont semblables   celles des coupures, mais diff rentes ! Insistons bien !

Soit $\{X|Y\}$ un nom : on a $X<Y$ par d finition. Le nombre $z=(A|B)$ a pour nom $\{X|Y\}$ veut dire que $z$ est le nombre m diateur entre $X$ et $Y$. Pour cela, il faut et il suffit que les trois conditions suivantes soit satisfaites :

[Il faut le refaire soi-m me !] Le nombre m diateur $z$ est le plus vieux parmi tous les nombres $u$ pour lesquels on a $X<u<Y$. Autrement dit, pour chaque $t\in A\cup B$, on a ou bien non($X<t$) ou bien non($t<Y$). Pour $t\in A$, on a d j $t<z<Y$, il faut donc, et il suffit, que l’on ait non($X<t$). De m me, pour $t\in B$, il faut, et il suffit que l’on ait non($t<Y$). Il faut donc et il suffit que, pour $t\in A$ on ait non($X<t$) et, pour $t\in B$ on ait non($t<Y$). Or, non($X<t$)  quivaut   $(\exists x\in X)(x\geqslant t)$, et non($t<Y$)  quivaut   $(\exists y\in Y)(y\leqslant t)$. Fin de la v rification

En utilisant les notions de cofinalit  et de co ntialit , on peut  noncer cette caract risation sous la forme suivante. Le nom $\{X|Y\}$ d signe le nombre $a=(A|B)$ si et seulement si :

$$\text{on a }X<a<Y\ ,\ X\ \text{est cofinal \ }\ A\ ,\ Y\ \text{est co\ nitial \ }\ B.$$

La condition suivante est suffisante pour qu’un nom $\{X|Y\}$ soit celui du nombre $a=(A|B)$ :

$$X\ \text{et}\ A\ \text{sont cofinaux}\ ,\ Y\ \text{et}\ B\ \text{sont co\ nitiaux}.$$

En effet, la condition ($A$ est cofinal   $X$) entra ne ($X<a$) et la condition ($B$ est co nitial   $Y$) entra ne ($a<Y$).

Lorsque les deux parties, $X,U$, sont cofinales et les deux parties, $Y,V$, sont co nitiales, les deux noms $\{X|Y\}$ et $\{U|V\}$ sont synonymes.

Soit $\{X|Y\}$ un nom. On se donne $u\in X$ et $v\in Y$ et on pose

$$U=\{x\in X:x\geqslant u\}\ ,\ V=\{y\in Y:y\leqslant v\}.$$

Alors $\{U|V\}$ est synonyme de $\{X|Y\}$.

Soit $\{X|Y\}$ un nom du nombre $a=(A|B)$. Retrouver les parties $A$ et $B$   partir des parties $X$ et $Y$. Autrement dit, reconstituer le nom intime d’un nombre   partir de l’un quelconque de ses noms.

On veut que l’addition satisfasse la condition suivante :

$$(a\leqslant x\ \text{et}\ b\leqslant y)\implies(a+b\leqslant x+y)\ !$$

Cela  claire la d finition que l’on en donne : cette d finition est, pour ainsi dire, n cessaire et suffisante !

À certains nombres dans la classe $\mathsf{S}$, on peut donner des noms particuliers, carat ristiques. Par exemple, soit $a=(A|B)$ un nombre strictement positif, $a>0$, d’une g n ration $\alpha$ donn e. En prenant $X=A\cap\ ]0,a[$, on a $B>a>X>0$ o  $X$ et $A$ sont cofinaux [comme on peut le v rifier], de sorte que $\{X|B\}$ est encore un nom de $a$. Tout nombre strictement positif $a>0$ poss de ainsi des noms $\{X|Y\}$ pour lesquels on a $Y>a>X>0$. Ce sont des noms caract ristiques des nombres strictement positifs. Cum grano salis, on pourra les appeler des dextronomes.

Cette fois, j’omets beaucoup de d tails et les v rifications longues et fastidieuses, pourtant sans grand d tour. Il vaut mieux que l’on entre soi-m me dans ces d tails pour les d m ler et faire les v rifications n cessaires. Voici quelques indications.

Soient $x=(A|B)$ et $y=(C|D)$ deux nombres des g n rations $\alpha$ et $\alpha+1$, respectivement. Si $x$ est un ascendant de $y$, on peut dire, de mani re imag e, que $x$ est le p re de $y$, ou sa m re, si l’on y tient ! De m me, lorsque $y$ est un descendant de $x$, on dira que $y$ est l’un des enfants de $x$. Pr cisons davantage la relation p re$|$enfant.

Chercher la faille qui d limite la lign e des ordinaux !!!

Pour les besoins de la cause, on distingue parmi les nombres dyadiques, l’ensemble suivant :

$$\mathbf{D}=\{1/2^{n}:n\in\mathbb{N}\}.$$

On dit que $a$ est un nombre r el lorsqu’il existe un entier naturel $n$ tel que $-n\leqslant a\leqslant n$ et que le nom suivant est celui de $a$ :

$$\{a-\mathbf{D}|a+\mathbf{D}\}\sim a.$$

On montre que l’ensemble des nombres r els ainsi d fini est une copie dans $\mathsf{S}$ du corps $\mathbb{R}$ des nombres r els, classique !

Comme dans tout corps ordonn , on d finit la valeur absolue $|a|$ de $a$ comme suit :

$$|a|=a\ \text{si}\ a\geqslant 0\ ,\ |a|=-a\ \text{si}\ a\leqslant 0.$$

Pour les questions de comparaison des nombres, on s’en tient aux valeurs absolues. On peut ainsi se limiter   la classe $\mathsf{S}_{+}=\{a:a\geqslant 0\}$ des nombres positifs.

On associe,   chaque nombre $a$, un nombre $\omega^{a}$, son exponentielle. Cela se fait par r currence. Comme d’habitude, pour chaque ensemble $X$ de nombres, on pose

$$\omega^{X}=\{\omega^{x}:x\in X\}.$$

Pour un nombre $a=(X|Y)$ de g n ration $\alpha$, on pose

$$E=\{0\}\cup\mathbb{N}.\omega^{X}\ ,\ F=\mathbf{D}.\omega^{Y}.$$

On prend pour $\omega^{a}$ le nombre qui a pour nom $\{E|F\}$ :

$$\omega^{a}\sim\{E|F\}.$$

On montre que l’on a

$\omega^{a}>0$

$\omega^{0}=1$

$\omega^{a+b}=\omega^{a}.\omega^{b}$

$\omega^{-a}=1/\omega^{a}$

$a<b\iff\omega^{a}<<\omega^{b}$

Pour tout ordinal $\alpha\in\mathsf{O}$, l’exponentielle $\omega^{\alpha}$ co ncide avec le nombre

ordinal $\omega^{\alpha}$ .

Pour chaque nombre $x>0$, il existe un seul nombre $y$ tel que $x$ soit commensurable   $\omega^{y}$. De plus, $\omega^{y}$ est plus vieux ou aussi  g  que $x$.

Tout nombre $a$ poss de une repr sentation sous la forme d’une somme formelle

$$a=\sum_{\alpha<\beta}\omega^{y_{\alpha}}.r_{\alpha},$$

o  $\beta$ est un ordinal, $(y_{\alpha})_{\alpha<\beta}$ une suite strictement d croissante de nombres, et $(r_{\alpha})_{\alpha<\beta}$ une suite de nombres r els non nuls.

Cette repr sentation, appel e forme normale, est unique. Lorsque le nombre $a$ est un ordinal, cette repr sentation co ncide avec la forme normale de Cantor pour les ordinaux !