La curva de Fargues–Fontaine:
Una motivación al estudio de la teoría de representaciones de Galois $p$-ádicas

La geometría aritmética ha experimentado un impulso significativo en los últimos años gracias al uso de métodos $p$-ádicos. Uno de sus grandes avances ha sido el descubrimiento de la curva de Fargues–Fontaine que ha generado gran interés debido a las diversas relaciones que tiene con distintas áreas de las matemáticas [10].

Fue descubierta en el año 2009 por los matemáticos franceses Laurent Fargues y Jean Marc-Fontaine mediante una serie de correos electrónicos y en el transcurso de una semana de conferencias en Trieste, Italia. Pierre Colmez documenta este intercambio de mensajes y nos aporta el contexto mediante el cual se realizó dicho descubrimiento [7]. Fargues y Fontaine discutían un artículo de Berger [2] donde aseguraba que el anillo de periodos $B_{e}$ era un anillo de Bezout. Fontaine, incrédulo de esta afirmación, indaga aún más llegando a una conclusión inesperada, el hecho que es de ideales principales. Fascinado por este anillo, Fontaine plantea a Colmez y Fargues una serie de preguntas cuyas respuestas desembocarían en relaciones con la teoría de filtraciones de Harder-Narasimhan en el contexto $p$-ádico. Estas relaciones darían pié al descubrimiento de la curva de Fargues–Fontaine revelándonos una conexión importante, la relación de las fibras vectoriales de la curva con la teoría de Harder-Narasimhan, que a su vez, tiene relación con las representaciones de Galois $p$-ádicas y los llamados anillos de periodos de Fontaine.

La teoría de Hodge $p$-ádica provee una forma de clasificar representaciones de Galois $p$-ádicas de campos locales de característica cero con campo residual de característica $p$ (también llamados campos de característica mixta). Esta teoría tiene sus inicios en los trabajos de Serre y Tate quienes estudiaban los módulos de Tate sobre variedades abelianas y las representaciones de Hodge-Tate. Estas representaciones están relacionadas a ciertas descomposiciones de cohomologías $p$-ádicas, análogas a la descomposición de Hodge. Futuros avances en el área se inspiraron por las representaciones de Galois $p$-ádicas que nacen de la cohomología étale de variedades. Es en este contexto donde Jean-Marc Fontaine introduce los anillos de periods.

La estructura del artículo es el siguiente: En la sección 2 presentamos notación e información preliminar que se usará a lo largo del texto. En la sección 3 se plantea una introducción a la idea de Fontaine sobre la clasificación de representaciones de Galois $p$-ádicas para dar paso en la sección 4 a la definición de los anillos periodos y mencionar sus propiedades algebraicas y aritméticas más importantes. En la sección 5 retomamos lo comentado en la sección 3 con más detalle para explicar de manera más precisa el papel que toman los anillos de periodos en la clasificación de las representaciones de Galois $p$-ádicas. En la sección 6 presentamos la construcción de la curva de Fargues-Fontaine usando como analogía las ideas para la construcción de la esfera de Riemann. Finalmente, en la sección 7 describimos la conexión entre las fibras vectoriales de la curva de Fargues-Fontaine con las representaciones de Galois $p$-ádicas mediante el teorema de Harder-Narasimhan.

Sea $p$ un primo fijo. El campo de los números $p$-ádicos (denotado como $\mathbb{Q}_{p}$) se puede definir como sigue: Para $a\in\mathbb{Z}$ sea $v_{p}(a)$ la máxima potencia de $p$ que divide al entero $a$. Extendiendo esto a $\mathbb{Q}$ definimos $v_{p}(\tfrac{a}{b})=v_{p}(a)-v_{p}(b)$. Así podemos definir una norma en $\mathbb{Q}$ como

Dicha norma induce una distancia en $\mathbb{Q}$ la cual no es completa (no toda sucesión de Cauchy converge). A la completación de $\mathbb{Q}$ respecto a esta distancia es lo llamados el campo de los número $p$-ádicos.

Denotamos por $K$ a una extensión finita de $\mathbb{Q}_{p}$, $\mathcal{O}_{K}$ su anillo de enteros, $m_{K}$ su único ideal maximal y $k:=\mathcal{O}_{K}/m_{K}$ su campo residual. Denotamos por $K_{0}=K\cap\mathbb{Q}_{p}^{nr}$ a la máxima extensión no ramificada [20] de $\mathbb{Q}_{p}$ dentro de $K$. Fijamos una cerradura algebraica $\overline{K}$ de $K$ y sea $G_{K}=Gal(\overline{K}/K)$ su grupo de Galois absoluto. Notar que $\overline{K}$ es también una cerradura algebraica de $\mathbb{Q}_{p}$ y por lo tanto no depende $K$. Sea $K_{0}^{nr}$ la extensión maximal no ramificada de $K_{0}$ en $\overline{K}\mathchar 314\relax$ Análogamente definimos a $K^{nr}\subseteq\overline{K}\mathchar 314\relax$ Como $K_{0}$ es no ramificado sobre $\mathbb{Q}_{p},$ $K_{0}^{nr}$ es la extensión máxima no ramificada de $\mathbb{Q}_{p}$ en $\overline{K}$ y por lo tanto también es independiente de $K$.

Denotemos por $\mathbb{C}_{p}$ a la completación $p-$ádica de $\overline{K}$ y por $\mathcal{O}_{\mathbb{C}_{p}}$ a su anillo de enteros. Fijamos $\pi\in m_{K}$ al parámetro uniformizador de $K$, es decir, un generador del ideal principal $m_{K}$.

Se dirá que un campo $K$ de característica $p$ es perfecto si el morfismo de Frobenius es un isomorfismo.

Desde finales de la década de 1970, J.M. Fontaine desarrolló un programa destinado a clasificar y describir las $\mathbb{Q}_{p}-$representaciones del grupo de Galois absoluto, $G_{K}$, de una extensión finita de los racionales $p$-ádicos $\mathbb{Q}_{p}$, i.e., los $\mathbb{Q}_{p}$ espacios vectoriales de dimensión finita dotados de una acción $\mathbb{Q}_{p}-$lineal continua de $G_{K}$ [1].

La estrategia de Fontaine parte de la siguiente observación: si tenemos un anillo topológico $B$, dotado de una acción continua de $G_{K}$ y estructuras adicionales estables bajo la acción de $G_{K},$ podemos asociar a cualquier representación de $G_{K}$ un invariante $D_{B}(V):=(B\otimes V)^{G_{K}}$ de $B\otimes V$.

Entonces $D_{B}(V)$ es un $B^{G_{K}}$–módulo equipado con estructuras adicionales heredadas de $B$, y que es a menudo más fácil de describir que la representación $V$ de la que partimos. El anillo $B$ permite descomponer la sub–categoría de $B-$representaciones admisibles (aquellas para los cuales $B\otimes V$ es trivial, i.e., isomorfa a $B^{\dim V}$, como $G_{K}$- representación). Tales anillos topológicos $B$ son los llamados anillos de periodos de Fontaine. A continuación presentamos la construcción de dichos anillos así como de algunas de sus propiedades.

La teoría de Hodge $p$-ádica, como lo describe [13], puede verse desde dos puntos de vista: el aritmético y el geométrico.

Desde el punto de vista aritmético, es el estudio de las representaciones de Galois $p$-ádicas, es decir, representaciones continuas $G_{K}\to Gl_{n}(\mathbb{Q}_{p})$ donde $K$ es extensión finita de $\mathbb{Q}_{p}$. Específicamente, esta teoría busca construir un diccionario que relacione buenas categorías de representaciones de $G_{K}$ con categorías de objetos algebraicos semilineales. Un ejemplo de esto es el estudio de los módulos de Tate de una curva elíptica sobre $K$ (que son representaciones de $G_{K}$) con buena reducción junto con los llamados isocristales (es decir, $\mathbb{Q}_{p}$-espacios vectoriales de dimensión finita equipados con un automofismo de Frobenius semilineal).

Desde el punto de vista geométrico, la teoría de Hodge $p$-ádica es el estudio de la geometría de una variedad (suave) $X$ sobre un campo $p$-ádico $K$. En particular estamos interesados es varias teorías de cohomología relacionadas a $X$ como la cohomología étale ($H_{et}^{n}(X_{\overline{K}},\mathbb{Q}_{p})$, la cohomología de DeRham ($H_{dR}^{n}(X,K)$) y la cohomología cristalina ($H_{cris}^{n}(X,K)$). Uno de los resultados mas relevantes de esta teoría es derivado del caso clásico en $\mathbb{C}$ sobre la descomposición de Hodge de una variedad suave $Y$:

Tate observó que existía una descomposición análoga para la cohomología étale de una variedad abeliana sobre $K$ con buena reducción, lo que lo llevo a conjeturar (y tiempo después Faltings lo demostraría) la descomposición de Hodge-Tate [6] :

donde $X$ es una variedad suave sobre $K$ y es un isomorfismo de representaciones de Galois $p$-ádicas $Rep_{\mathbb{Q}_{p}}(G_{K})$.

En este sentido, Fontaine realiza una serie de conjeturas, ahora teoremas, conocidos como ‟teoremas de comparación˝en donde relaciona a las distintas cohomologías de la variedad, siendo necesario extender los coeficientes a los llamados anillos de periodos de Fontaine.

En esta sección nos centraremos en estudiar los anillos de periodos, en particular, mostraremos sus construcciones y las propiedades aritméticas y algebraicas que nos servirán para la construcción de la curva de Fargues-Fontaine. En el presente texto no se estudiará la relación con las cohomologías como en el teorema 4.1. Para el lector interesado en este aspecto puede consultar [1].

Una vez que hemos construído los anillos de periodos, regresamos a la idea de Fontaine para clasificar las representaciones de Galois $p$-ádicas. En esta sección se hablará primero de la $B$-admisibilidad de una representación para luego dar paso a un ejemplo concreto: como el anillo de periodo $B_{dR}$ nos dará más información sobre la representación. La bibliografía que se seguirá en esta sección es [1].

La curva de Fargues–Fontaine es un objeto de la teoría de números descubierta en 2009 por Laurent Fargues y Jean Marc–Fontaine, donde en su geometría codifica mucha información sobre la aritmética de los números $p$–ádicos. Se ha convertido rápidamente en un tema de investigación en la teoría de Hodge $p$-ádica y el programa de Langlands.

En esta sección motivamos la definición de la curva usando una analogía con la esfera de Riemann. Luego, construimos la curva desde dos puntos de vista distintos, uno desde el punto de vista del álgebra conmutativa y otro desde los espacios de ‟Tilts y Untilts˝[16, 5].

En esta última sección se muestra la relación de la curva de Fargues-Fontaine, específicamente sus fibrados vectoriales, con las representaciones de Galois $p$-ádicas, haciendo uso del teorema de Harder-Narasimhan. En los fibrados vectoriales se tiene lo siguiente:

Enunciaremos ahora el teorema principal de este sección cuya demostración puede ser consultada en [15].

En general hay otras categorías en las cuales existe un análogo al teorema de H-N. Mencionaremos alguna de estas.

•  

  Fibrados vectoriales de una curva $X\mathchar 314\relax$
  Sea $X$ una superficie de Riemann. Sea $Vect(X)$ la categoría de fibrados en $X\mathchar 314\relax$ Equipado con las nociones definidas anteriormente de rango y grado, dicha categoría satisface el teorema H-N.

•  

  Los pares $\mathbb{P}^{1}$-algebraicos completos. Antes de definir estos objetos necesitaremos la definición de una función casi euclidiana.

  Definición 24.

  Una función casi euclidiana de un dominio entero $B$ es una función $\nu:B\to\mathbb{N}\cup\{-\infty\}$ que cumple las siguientes propiedades:

  1. 1.

     $\nu(f)=-\infty\iff f=0\mathchar 314\relax$

  2. 2.

     Para $f,g\in B-\{0\}$ se tiene que $\nu(f)\leq\nu(fg)\mathchar 314\relax$

  3. 3.

     Si $\nu(f)=0,$ entonces $f$ es unidad.

  4. 4.

     Si $f,g\in B$ con $\nu(g)\geq 1,$ entonces existen $q,r\in B$ tales que $f=gq+r$ y $\nu(r)\leq\nu(g)\mathchar 314\relax$

  Definición 25.

  Un par $\mathbb{P}^{1}$-algebraico es un par $(B,\nu)$ que consiste es un anillo de ideales principales $B$ y una valuación $\nu:Frac(B)\to\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ tal que $-\nu$ es una función casi euclidiana en $B\mathchar 314\relax$ Decimos que el par el completo si

  $$\nu(f)+\sum_{\mathfrak{p}\subseteq B}ord_{\mathfrak{p}}(f)=0,$$

  para todo $f\in B,$ donde $\mathfrak{p}$ corre sobre todos los ideales primos distintos del cero de $B$ y $ord_{\mathfrak{p}}$ denota la valuación $\mathfrak{p}$–ádica asociada en $B\mathchar 314\relax$

  Sea $(B,\nu)$ un par $\mathbb{P}^{1}$–algebraico completo. Un ‟fibrado vectorial en $(B,\nu)$˝se define como un par $(M,M_{\infty}),$ donde $M$ es un $B$–módulo libre de rango finito y $M_{\infty}$ es un $\mathcal{O}_{\nu}$–retículo dentro del espacio vectorial de dimensión finita $M\otimes_{B}k_{\nu},$ donde $k_{\nu}$ es la completación de $k=Frac(B)$ respecto a $\nu$ y $\mathcal{O}_{\nu}$ es el anillo de enteros.

  • •

    El rango de $(M,M_{\infty})$ es el rango del módulo $M\mathchar 314\relax$

  • •

    El grado se define comparando bases de $M$ y $M_{\infty}\mathchar 314\relax$

  Así, la categoría de fibrados vectoriales de un par $\mathbb{P}^{1}$-algebraico $(B,\nu)$ cumple el teorema H-N.
  En particular, para el par $\mathbb{P}^{1}$-algebraico completo $(B_{e},\nu_{dR})$ de la curva de Fargues-Fontaine, los $(B,\nu)$–pares solo son llamados $B$-pares. Aquí un fibrado vectorial es un par $(M,M_{dR})$ tal que

  • •

    $M$ es un $B_{e}$–módulo libre de rango finito.

  • •

    $M_{dR}$ es un $B_{dR}^{+}$–retículo dentro de $M\otimes_{B_{e}}B_{dR}\mathchar 314\relax$

  La siguiente proposición relaciona las dos categorías antes mencionadas. Su demostración puede ser consultada en [15].

  Proposición 26.

  La categoría de $(B_{e},\nu_{dR})$–pares se identifica con la categoría $Vect(X^{FF})$ de fibrados vectoriales de la curva de Fargues–Fontaine.

•  

  Espacios vectoriales con filtraciones.
  Dada una extensión de campos $L/F,$ sea $VectFil_{L/F}$ la categoría de pares $(V,Fil^{\bullet}V_{L}),$ donde $V$ es un $F$–espacio vectorial de dimensión finita y $Fil^{\bullet}$ es una filtración en $V_{L}=V\otimes_{F}L$ separada y exhaustiva.

  • •

    $rk(V,Fil^{\bullet}V_{L})=\dim_{F}V\mathchar 314\relax$

  • •

    $\deg(V,Fil^{\bullet}V_{L})=\sum_{i\in\mathbb{Z}}i\dim_{L}(gr^{i}V_{L})$

  Así, esta categoría cumple con el teorema H-N.

•  

  Isocristales.
  Sea $K$ campo perfecto de característica $p$ y $K_{0}=Frac(W(K))\mathchar 314\relax$ Un isocristal sobre $K$ es un par $(D,\varphi_{D}),$ donde $D$ es un $K_{0}$–espacio vectorial de dimensión finita y $\varphi_{D}:D\to D$ es un isomorfismo $\varphi$–semilineal (esto es, $\varphi_{D}(ad)=\varphi(a)\varphi_{D}(d)$ para todo $a\in K_{0}$ y $d\in D\mathchar 314\relax$)

  • •

    $rk(D,\varphi_{D})=\dim_{K_{0}}D\mathchar 314\relax$

  • •

    $\deg(D,\varphi_{D})=-\deg^{+}\det(D,\varphi_{D}),$ donde $\deg^{+}$ de un isocristal de rango uno $(L,\varphi_{L})$ se define escogiendo un elemento básico $e\in L,$ luego $\varphi_{L}(e)=ae$ para algún $a\in K_{0}$ y $\det^{+}(L,\varphi_{L}):=\nu_{p}(a),$ ya que $K_{0}$ es campo de valuación discreta.

  Así, esa categoría cumple con el teorema de H-N. A esta categoría se le suele denotar como $\varphi-Mod_{K_{0}}\mathchar 314\relax$
  

  Sea $\lambda=\dfrac{d}{h}\in\mathbb{Q},$ donde $(d,h)=1$ y $h>0\mathchar 314\relax$ Podemos definir un isocristal $(D_{\lambda},\varphi_{\lambda})\in\varphi-Mod_{K_{0}}$ como

  • •

    $D_{\lambda}=K_{0}^{h},$ con elementos básicos $e_{1},\mathchar 314\relax\mathchar 314\relax\mathchar 314\relax,e_{h}\mathchar 314\relax$

  • •

    $\varphi_{\lambda}:D_{\lambda}\to D_{\lambda}$ como el único endomorfismo semilineal que satisface:

    $$\varphi_{\lambda}(e_{i})=\left\{\begin{array}[]{lcc}e_{i+1},&si&i=1,\mathchar 314\relax\mathchar 314\relax\mathchar 314\relax,h-1,\\ \\ p^{-d}e_{1},&si&i=h\mathchar 314\relax\end{array}\right\mathchar 314\relax$$

  El isocristal $(D_{\lambda},\varphi_{\lambda})$ tiene rango $h,$ grado $d$ y pendiente $\lambda\mathchar 314\relax$

  Lema 27.

  Sea $(D,\varphi_{D})\in\varphi-Mod_{\mathbb{Q}_{p}}$ isocristal sobre $\mathbb{F}_{p}\mathchar 314\relax$ Entonces el par

  $$((B_{cris}\otimes_{\mathbb{Q}_{p}}D)^{\varphi=1},B^{+}_{dR}\otimes_{\mathbb{Q}_{p}}D)$$

  es un fibrado vectorial $(B_{e},\nu_{dR})$ con rango y grado dado por el rango y grado del isocristal.

  Este lema asocia a un isocristal fibrado un fibrado vectorial en $X^{FF},$ denotado por $\xi(D,\varphi_{D})\mathchar 314\relax$ En particular, en el caso del isocristal $(D_{\lambda},\varphi_{\lambda})$ con $\lambda\in\mathbb{Q},$ escribimos $\mathcal{O}_{X^{FF}}(\lambda):=\xi(D_{\lambda},\varphi_{\lambda})\mathchar 314\relax$ Por el lema, $\mathcal{O}_{X^{FF}}(\lambda)$ tiene rango $h,$ grado $d$ y pendiente $\lambda$ si $\lambda=\dfrac{d}{h}$ con $(d,h)=1$ y $h>0\mathchar 314\relax$

  Teorema 28 (De clasificación de fibrados vectoriales en $X^{FF}\mathchar 314\relax$).

  Sea $E$ un fibrado vectorial en $X^{FF}\mathchar 314\relax$ Entonces existe una única sucesión de racionales $\lambda_{1}\geq\cdots\geq\lambda_{m}$ tales que $E$ es isomorfo a

  $$\bigoplus_{i=1}^{m}\mathcal{O}_{X^{FF}}(\lambda_{i})=\bigoplus_{i=1}^{m}\xi(D_{\lambda_{i}},\varphi_{\lambda_{i}})\mathchar 314\relax$$

  Corolario 29.

  • •

    El funtor $\xi(-):\varphi-Mod_{K_{0}}\to Vect(X^{FF})$ es esencialmente sobreyectivo.

  • •

    Sea $E$ un fibrado vectorial de $X^{FF}$ y $\lambda\in\mathbb{Q}\mathchar 314\relax$ Entonces $E$ es semiestable de pendiente $\lambda$ si y sólo si $E$ es isomorfo a $\mathcal{O}_{X^{FF}}(\lambda)^{m}$ para algún $m\geq 1\mathchar 314\relax$

  • •

    La categoría de fibrados vectoriales de $X^{FF}$ semiestables y de pendiente cero equivalente a la categoría de $\mathbb{Q}_{p}$–espacios vectoriales de dimensión finita vía $V\mapsto V\otimes_{\mathbb{Q}_{p}}\mathcal{O}_{X^{FF}}\mathchar 314\relax$

•  

  $\varphi-ModFil_{K/K_{0}}\mathchar 314\relax$
  Esta es la categoría de los tripletes $(D,\varphi_{D},Fil^{\bullet}D_{K})$ donde

  • •

    $D$ es un $K_{0}$–espacio vectorial de dimensión finita.

  • •

    $\varphi_{D}:D\to D,$ isomorfismo $\varphi$-lineal.

  • •

    $Fil^{\bullet}$ es una filtración en $D_{K}:=D\otimes_{K_{0}}K$ separada y exhaustiva.

  Es decir, $(D,\varphi)\in\varphi-Mod_{K_{0}}$ y $(D,Fil^{\bullet}D_{K})\in VectFil_{K_{0}/K}\mathchar 314\relax$ Definimos:

  • •

    $rk(D,\varphi_{D},Fil^{\bullet}D_{K}):=\dim_{K_{0}}D\mathchar 314\relax$

  • •

    $\deg(D,\varphi_{D},Fil^{\bullet}D_{K}):=\deg(D,\varphi_{D})+\deg(D,Fil^{\bullet}D_{K})\mathchar 314\relax$

  De esta forma, esta categoría cumple con el teorema de H-N.