Modélisation micromagnétique du comportement magnéto-mécanique

Les dernières années ont vues un intérêt grandissant des industries automobiles pour l’utilisation d’aciers à haute performance tels que les aciers dual-phases (DP). La production de ces aciers implique plusieurs procédés qui conduisent à une microstructure biphasée principalement composée d’îlots de martensite dure dispersés dans une matrice ferritique ductile en proportion variable selon l’histoire thermo-mécanique du matériau (fig 1).

Les systèmes d’évaluation non destructifs présentent un intérêt particulier pour vérifier l’homogénéité des aciers Dual Phase. Les techniques magnétiques ont montré leur efficacité à évaluer la microstructure de ces aciers en sortie de recuit/galvanisation. En particulier, le système 3MA [5] est connu pour son aptitude à évaluer de façon non destructive les propriétés mécaniques des aciers Dual Phase. Dès 2003, des essais en ligne ont permis de montrer que l’on pouvait estimer la résistance maximale avec une erreur inférieure à 4% et la limite élastique à 8-10% près. Toutefois, dans le cas des Dual Phase, la seule estimation des propriétés mécaniques n’est pas suffisante pour garantir la qualité du produit. La microstructure conditionne d’autres caractéristiques du matériau difficilement mesurables à l’aide de simples essais de traction. Ces caractéristiques (par exemple l’état de contrainte résiduel) prennent une place de plus en plus importante dans le cahier des charges des clients. Pour que la mesure magnétique donne des informations plus précises sur la microstructure du matériau, il faut pouvoir décrire suffisamment finement le lien entre la microstructure, l’état de contrainte et les propriétés magnétiques en ligne.

L’application d’un champ magnétique aimante les milieux magnétiques mais peut également les déformer. Ce phénomène est appelé magnétostriction. Il s’agit d’une déformation ”spontanée”, intrinsèque au matériau. Elle ne dépend que de l’état magnétique du matériau. Aimantation et magnétostriction son liées par une relation non linéaire où $\bm{\lambda}$ est le tenseur d’ordre 4 des constantes de magnétostriction.

Le mécanisme d’aimantation observable macroscopiquement fut expliqué par Weiss, qui en 1907 émit l’hypothèse que le comportement magnétique des matériaux magnétiques a pour origine l’existence d’une microstructure intragranulaire organisée en domaines portant des directions d’aimantation  $\alpha_{{}_{i}}$ différentes (2) et séparés par des parois (parois de Bloch). Cette interprétation fut confirmée expérimentalement lorsque Bitter (1931) observa directement les domaines de Weiss.

Sous l’influence d’un champ magnétique externe, la microstructure magnétique évolue par déplacement des parois et rotation des moments magnétiques. Le déplacement peut être entravé par la présence de défauts structuraux (phases, inclusions, dislocations, joints de grains …). Lorsqu’une paroi rencontre un défaut, elle se trouve ancrée. Le désancrage nécessite alors un champ appliqué légèrement supérieur au champ nécessaire au déplacement en absence de défaut. Les parois progressent alors par sauts brusques et irréversibles. Ces sauts irréversibles sont à l’origine de l’hystérésis du comportement magnétique et de sa discontinuité.

À l’échelle microscopique, la subdivision en domaines résulte de équilibre énergétique entre différentes contributions élémentaires. Trois contributions en particulier sont à l’origine de cette subdivision, l’énergie d’échange, l’énergie d’anisotropie et l’interaction dipolaire [2]. L’interaction d’échange traduit la tendance des moments magnétiques voisins à s’aligner dans la même direction. Ce phénomène se traduit à l’échelle macroscopique par un un gradient d’aimantation correspondant à une force de rappel élastique. L’interaction d’échange est une interaction purement locale qui décroit rapidement avec la distance, et ne dépend que des propriétés microscopiques du matériau. On y associe usuellement un potentiel de la forme:

L’anisotropie représente l’interaction des moments magnétiques avec le potentiel créé par la symétrie du cristal. Le résultat d’une telle interaction est la préférence des moments magnétiques à s’orienter dans certaines directions énergétiquement favorables (direction de symétrie du cristal). Cette interaction prend la forme d’une fonction $\Psi(\vec{d},\vec{m})$ paire s’annulant suivant les différents axes d’anisotropie ($\vec{d}$) du cristal considéré.

Ainsi dans le cas d’une symétrie cubique, la fonction $\Psi(\vec{d},\vec{m})$ prend la forme

L’interaction dipolaire joue un rôle fondamental dans la formation des domaines. Celle-ci est liée à l’interaction mutuelle des moments magnétiques et à la géométrie du milieu. L’aimantation créée dans un milieu par l’action d’un champ magnétique extérieur génère en retour un champ. Ce champ appelé champ démagnétisant $\vec{H}_{d}({\vec{m}})$ satisfait les équations de Maxwell $(\vec{\nabla}\wedge\vec{H}_{d}({\vec{m}})=\vec{0})$ et donc dérive d’un potentiel scalaire $\zeta$ vérifiant l’ensemble des équations (6) et (7).

Le potentiel $\zeta$ est solution du problème de Poisson (7) et traduit le caractère non local du champ démagnétisant. Ce champ conditionne un grand nombre de microstructures magnétiques observées expérimentalement. Du fait de son caractère non local, le calcul de cette grandeur est en général très coûteux en temps de calcul. On lui associe usuellement un potentiel de la forme:

Enfin la dernière interaction, traduit l’influence du champ appliqué sur les moments magnétiques. Il s’agit de l’énergie de Zeemann.

Le micromagnétisme est une approche théorique permettant de décrire le processus d’aimantation à une échelle suffisamment large pour remplacer les moments magnétiques atomiques par des fonctions continues, et suffisamment fine pour rendre compte des zones de transition entre domaines magnétiques [1][3]. Cette approche continue de la théorie du ferromagnétisme fait le lien entre la description quantique de la structure des spins et la théorie de l’électromagnétisme de Maxwell où les propriétés magnétiques du matériau sont décrites par des constantes volumiques homogènes (susceptibilité $\chi$ et perméabilité $\mu$).

Le code de calcul micromagnétique statique 2D "sivimm2d" [7] nous a servi de base à l’implémentation de la formulation magnéto-mécanique (algorithme 3). Nous étudions l’évolution d’un monocristal ferromagnétique à symétrie cubique dont les constantes magnétique et mécanique sont résumées dans le tableau (1). Du fait de la restriction 2D, l’hypothèse de contrainte plane $(\sigma_{zz}=0)$ a été retenue, ce qui nécessite la redéfinition du tenseur d’élasticité $\bm{C}$ initialement 3D par un tenseur plan $\bm{C}_{Plan}$ tenant compte de cette restriction.

Les premières simulations sur le monocristal ont permis de mettre en évidence l’apport du couplage magnéto-mécanique (fig. 3(a)): En effet, en absence d’effet magnéto-élastique, la microstructure magnétique est dominée par les effets démagnétisant d’anisotropie qui tendent à aligner les moments magnétiques suivant les axes faciles $<100>$ et à favoriser l’apparition de domaines de refermeture du flux près des frontières de manière à minimiser l’énergie magnétostatique. La contrainte $\bm{\sigma}$ et son énergie associée agissent comme une source supplémentaire d’anisotropie $(K_{\bm{\sigma}})$, et en absence de sollicitation mécanique extérieure, celle ci agit sur la taille caractéristique des parois magnétiques définies respectivement par:

L’apport énergétique dû à l’état de contrainte intrinsèque (fig. 3(b)) a donc pour effet de stabiliser la microstructure magnétique tel qu’on peut le constater (fig. 3(a))

Le couplage magnéto mécanique introduit précédemment laisse la possibilité d’explorer l’influence de l’état de chargement mécanique externe sur la configuration des moments magnétiques. Ainsi sur le même domaine d’étude, on choisit, à champ fixé, d’appliquer une sollicitation mécanique perpendiculaire au champ appliqué (fig. 2(b)) et d’observer l’évolution de la microstructure magnétique sous l’action de ce chargement. $\Sigma_{yy}$ définit la contrainte moyenne appliquée correspondant au déplacement imposé.

Les figures 4(a) et 4(b) rendent compte de l’évolution de la structure des domaines et des parois magnétiques. On peut y observer qu’en traction (fig. 4(a)) les domaines qui initialement étaient alignés avec le champ ($\vec{M}.\vec{x}$) disparaissent au profit des domaines orthogonaux au champ ($\vec{M}.\vec{y}$) énergétiquement favorables. En compression (fig. 4(b)) on constate l’effet inverse.

La mise en œuvre du couplage magnéto-élastique dans le cadre d’un calcul micromagnétique a montré son efficacité. Sur un monocristal nous avons montré que l’anisotropie induite par l’état de contrainte intrinsèque stabilise la microstructure magnétique, en particulier la taille des parois magnétiques. La nouvelle liberté d’explorer différents états de chargement dans le plan de contrainte (traction/compression uniaxial), nous a permis de mettre en évidence l’évolution du comportement magnétique, et la sensibilité de la microstructure magnétique à l’état de contrainte. Dans l’optique de la description du comportement magnéto-mécanique des aciers DP, la suite de ce travail consistera à introduire des microstructures de plus en plus complexes (fig. 1), l’objectif étant à terme d’obtenir des lois d’évolution du comportement magnétique en fonction de l’hétérogénéité (fraction d’îlots martensitiques, morphologie des îlots ).