, NOT, CNOT 2-CNOT

Аннотация

В работе рассматривается вопрос сложности обратимых схем, состоящих из функциональных элементов NOT, CNOT и 2-CNOT. Определяется функция Шеннонa $L(n,q)$ сложности обратимой схемы, реализующей отображение $f\colon\mathbb{Z}_{2}^{n}\to\mathbb{Z}_{2}^{n}$ , как функция от $n$ и количества дополнительных входов схемы $q$ . Доказывается общая нижняя оценка сложности обратимой схемы $L(n,q)\geqslant\frac{2^{n}(n-2)}{3\log_{2}(n+q)}-\frac{n}{3}$ . Доказывается верхняя оценка сложности $L(n,0)\leqslant 3n2^{n+4}(1+o(1))\mathop{/}\log_{2}n$ в случае отсутствия дополнительных входов. Доказывается асимптотическая верхняя оценка сложности $L(n,q_{0})\lesssim 2^{n}$ в случае использования $q_{0}\sim n2^{n-o(n)}$ дополнительных входов.

Ключевые слова: обратимые схемы, сложность схемы, вычисления с памятью.

Введение

В дискретной математике нередко возникает задача оценить сложность того или иного преобразования. Теория схемной сложности берет свое начало с работы Шеннона [1]. В ней он предложил в качестве меры сложности булевой функции рассматривать сложность реализующей ее минимальной контактной схемы. На сегодняшний день известна асимптотическая оценка сложности $L(n)\sim 2^{n}\mathop{/}n$ булевой функции [2] в базисе классических функциональных элементов <<инвертор, дизъюнктор, конъюнктор>>.

В работе [3] рассматривается вопрос о вычислениях с ограниченной памятью. Было доказано, что в базисе всех $p$ -местных булевых функций нижняя асимптотическая оценка сложности схемы, состоящей из функциональных элементов, соответствующих этим функциям, зависит только от параметра $p$ и никак не зависит от количества используемых регистров памяти. Более того, было показано, что любую булеву функцию можно реализовать схемой, использующей не более двух регистров памяти.

В данной работе рассматриваются схемы, состоящие из обратимых функциональных элементов NOT, CNOT и 2-CNOT. Определение таких функциональных элементов и схем было дано, например, в работах [4, 5, 6]. Известно, что обратимая схема с $n\geqslant 4$ входами, состоящая из функциональных элементов NOT, CNOT и 2-CNOT (далее просто обратимая схема), задает четную подстановку на множестве $\mathbb{Z}_{2}^{n}$ [7, 8]. Поэтому в качестве меры сложности четной подстановки можно рассматривать сложность задающей ее минимальной обратимой схемы.

В данной работе рассматривается множество $F(n,q)$ всех отображений $\mathbb{Z}_{2}^{n}\to\mathbb{Z}_{2}^{n}$ , которые могут быть реализованы обратимой схемой с $(n+q)$ входами (дополнительной памяти). Определяется функция Шеннона сложности обратимой схемы $L(n,q)$ , как функция от $n$ и количества дополнительных входов схемы $q$ . Показывается, что сложность обратимой схемы, в отличие от обычных схем, существенно зависит от количества дополнительных входов (аналог регистров памяти [3]).

При помощи мощностного метода Риордана-Шеннона доказывается нижняя оценка сложности обратимой схемы: $L(n,q)\geqslant\frac{2^{n}(n-2)}{3\log_{2}(n+q)}-\frac{n}{3}$ . Дается описание алгоритма синтеза обратимой схемы без использования дополнительных входов, при помощи которого доказывается верхняя оценка $L(n,0)\leqslant 3n2^{n+4}(1+o(1))\mathop{/}\log_{2}n$ . Также предлагается аналог метода Лупанова [2] для синтеза обратимых схем с дополнительными входами, при помощи которого доказывается верхняя асимптотическая оценка $L(n,q_{0})\lesssim 2^{n}$ при $q_{0}\sim n2^{n-o(n)}$ .

1 Основные понятия

Определение обратимых функциональных элементов было введено, к примеру, в работе Фейнмана [4], определения обратимых элементов NOT и $k$ -CNOT были даны, к примеру, в работе [5]. Mы будем пользоваться формальным определением этих функциональных элементов из работы [6].

Напомним, что через $N_{j}^{n}$ обозначается функциональный элемент NOT (инвертор) с $n$ входами, задающий преобразование $\mathbb{Z}_{2}^{n}\to\mathbb{Z}_{2}^{n}$ вида

f_{j}(\langle x_{1},\ldots,x_{n}\rangle)=\langle x_{1},\ldots,x_{j}\oplus 1,\ldots,x_{n}\rangle\;.

(1)

Через $C_{i_{1},\ldots,i_{k};j}^{n}=C_{I;j}^{n}$ , $j\notin I$ , обозначается функциональный элемент $k$ -CNOT с $n$ входами (контролируемый инвертор, обобщенный элемент Тоффоли с $k$ контролирующими входами), задающий преобразование $\mathbb{Z}_{2}^{n}\to\mathbb{Z}_{2}^{n}$ вида

f_{i_{1},\ldots,i_{k};j}(\langle x_{1},\ldots,x_{n}\rangle)=\langle x_{1},\ldots,x_{j}\oplus x_{i_{1}}\wedge\ldots\wedge x_{i_{k}},\ldots,x_{n}\rangle\;.

(2)

Если значение $n$ ясно из контекста, будем опускать верхний индекс $n$ в обозначении функциональных элементов NOT и $k$ -CNOT. Далее будут рассматриваться только функциональные элементы NOT, CNOT (1-CNOT) и 2-CNOT. Обозначим через $\Omega_{n}^{2}$ множество всех функциональных элементов NOT, CNOT и 2-CNOT с $n$ входами.

Классически схема из функциональных элементов определяется как ориентированный граф без циклов с помеченными ребрами и вершинами. В случае обратимых схем данную модель можно упростить, т. к. в обратимой схеме запрещено ветвление входов и выходов функциональных элементов, а также произвольное подключение выходов одного функционального элемента ко входам другого функционального элемента. Поэтому в ориентированном графе, описывающем обратимую схему $\mathfrak{S}$ , все вершины, соответствующие функциональным элементам, имеют ровно $n$ занумерованных входов и выходов. Все эти вершины нумеруются от 1 до $l$ , при этом $i$ -й выход $m$ -й вершины, $m<l$ , соединяется только с $i$ -м входом $(m+1)$ -й вершины. Входы 1-й вершины являются входами обратимой схемы, выходы $l$ -й вершины — ее выходами. Такое соединение функциональных элементов из множества $\Omega_{n}^{2}$ друг с другом далее будем называть композицией функциональных элементов. Величина $l=L(\mathfrak{S})$ равна сложности обратимой схемы $\mathfrak{S}$ .

Можно приписать $i$ -м входам и выходам вершин графа символ $r_{i}$ из множества $R=\{\,r_{1},\ldots,r_{n}\,\}$ , каждый из которых можно интерпретировать как имя регистра памяти (номер ячейки памяти), в котором хранится часть результата работы схемы. Из формул (1) и (2) видно, что в этом случае после работы какого-либо элемента схемы инвертируется значение не более, чем в одном регистре памяти. В этом заключается существенная разница между схемами, состоящими из обратимых и необратимых функциональных элементов.

2 Сложность обратимой схемы

В данном разделе будет сформулирован основной результат работы без доказательства для сложности обратимой схемы с $n$ входами. Доказательство приведенных оценок будет дано в следующих разделах.

Обратимая схема с $n\geqslant 4$ входами задает четную подстановку на множестве $\mathbb{Z}_{2}^{n}$ [7, 8]. При этом она может также реализовывать некоторое булево отображение $\mathbb{Z}_{2}^{m}\to\mathbb{Z}_{2}^{k}$ , где $m,k\leqslant n$ , с использованием или без использования дополнительных входов. Для пояснения этого введем следующие отображения:

1.

Расширяющее отображение $\phi_{n,n+k}\colon\mathbb{Z}_{2}^{n}\to\mathbb{Z}_{2}^{n+k}$ вида

$\phi_{n,n+k}(\langle x_{1},\ldots,x_{n}\rangle)=\langle x_{1},\ldots,x_{n},0,\ldots,0\rangle\;.$
2.

Редуцирующее отображение $\psi_{n+k,n}^{\pi}\colon\mathbb{Z}_{2}^{n+k}\to\mathbb{Z}_{2}^{n}$ вида

$\psi_{n+k,n}^{\pi}(\langle x_{1},\ldots,x_{n+k}\rangle)=\langle x_{\pi(1)},\ldots,x_{\pi(n)}\rangle\;,$

где $\pi$ — подстановка на множестве $\mathbb{Z}_{n+k}$ .

Введем формальное определение обратимой схемы, реализующей произвольное отображение $f\colon\mathbb{Z}_{2}^{n}\to\mathbb{Z}_{2}^{n}$ с использованием дополнительных входов.

Определение 1.

Обратимая схема $\mathfrak{S}_{g}$ с $(n+q)$ входами, задающая преобразование $g\colon\mathbb{Z}_{2}^{n+q}\to\mathbb{Z}_{2}^{n+q}$ , реализует отображение $f$ c использованием $q\geqslant 0$ дополнительных входов (дополнительной памяти), если существует такая подстановка $\pi\in S(\mathbb{Z}_{n+q})$ , что

\psi_{n+q,n}^{\pi}(g(\phi_{n,n+q}(\mathbf{x})))=f(\mathbf{x}),\mathbf{x}\in\mathbb{Z}_{2}^{n}\;.

Отметим, что в данной терминологии выражения реализует и задает отображение имеют разные значения: если обратимая схема $\mathfrak{S}_{g}$ задает отображение $f$ , то $g(\mathbf{x})=f(\mathbf{x})$ . Если схема $\mathfrak{S}_{g}$ реализует отображение $f$ и имеет ровно $n$ входов, то будем говорить, что она реализует данное отображение без использования дополнительной памяти.

Обозначим через $P_{2}(n,n)$ множество всех булевых отображений $\mathbb{Z}_{2}^{n}\to\mathbb{Z}_{2}^{n}$ . Обозначим через $F(n,q)\subseteq P_{2}(n,n)$ множество всех отображений $\mathbb{Z}_{2}^{n}\to\mathbb{Z}_{2}^{n}$ , которые могут быть реализованы обратимой схемой с $(n+q)$ входами. Множество подстановок из $S(\mathbb{Z}_{2}^{n})$ , задаваемых всеми элементами множества $\Omega_{n}^{2}$ , генерирует знакопеременную $A(\mathbb{Z}_{2}^{n})$ и симметрическую $S(\mathbb{Z}_{2}^{n})$ группы подстановок при $n>3$ и $n\leqslant 3$ , соответственно [7, 8]. Отсюда следует, что $F(n,0)$ совпадает с множеством отображений, задаваемых всеми подстановками из $A(\mathbb{Z}_{2}^{n})$ и $S(\mathbb{Z}_{2}^{n})$ при $n>3$ и $n\leqslant 3$ , соответственно. С другой стороны, несложно показать, что при $q\geqslant n$ верно равенство $F(n,q)=P_{2}(n,n)$ : при наличии $n$ дополнительных входов всегда можно построить биекцию $g\colon\mathbb{Z}_{2}^{n+q}\to\mathbb{Z}_{2}^{n+q}$ , удовлетворяющую Определению 1 и задающую четную подстановку $h\in A(\mathbb{Z}_{2}^{n+q})$ .

Обозначим через $L(f,q)$ сложность минимальной обратимой схемы, состоящей из функциональных элементов множества $\Omega_{n+q}^{2}$ и реализующей булево отображение $f\in F(n,q)$ с использованием $q$ дополнительных входов. Определим функцию Шеннона $L(n,q)$ сложности обратимой схемы следующим образом:

L(n,q)=\max_{f\in F(n,q)}{L(f,q)}\;.

Теперь сформулируем основной результат данной работы.

Теорема 1 (нижняя оценка сложности обратимой схемы).

Верно неравенство

L(n,q)\geqslant\frac{2^{n}(n-2)}{3\log_{2}(n+q)}-\frac{n}{3}\;.

Теорема 2 (о сложности обратимой схемы без дополнительных входов).

Верно неравенство

L(n,0)\leqslant\frac{3n2^{n+4}}{\log_{2}n-\log_{2}\log_{2}n-\log_{2}\phi(n)}\left(1+\varepsilon(n)\right)\;,

где $\phi(n)<n\mathop{/}\log_{2}n$ — любая сколь угодно медленно растущая функция, а функция $\varepsilon(n)$ равна:

\varepsilon(n)=\frac{1}{6\phi(n)}+\left(\frac{8}{3}+o(1)\right)\frac{\log_{2}n\cdot\log_{2}\log_{2}n}{n}\;.

Теорема 3.

Верно соотношение

L(n,0)\asymp\frac{n2^{n}}{\log_{2}n}\;.

Доказательство.

Следует из Теорем 1 и 2. ∎

Теорема 4.

Верно соотношение

L(n,q_{0})\lesssim 2^{n}\text{ \,\char 239\relax\char 240\relax\char 232\relax\, }q_{0}\sim n2^{n-\lceil n\mathop{/}\phi(n)\rceil}\;,

где $\phi(n)\leqslant n\mathop{/}(\log_{2}n+\log_{2}\psi(n))$ и $\psi(n)$ — любые сколь угодно медленно растущие функции.

Теорема 5.

Верно соотношение

L(n,q_{0})\asymp 2^{n}\text{ \,\char 239\relax\char 240\relax\char 232\relax\, }q_{0}\sim n2^{n-\lceil n\mathop{/}\phi(n)\rceil}\;,

где $\phi(n)\leqslant n\mathop{/}(\log_{2}n+\log_{2}\psi(n))$ и $\psi(n)$ — любые сколь угодно медленно растущие функции.

Доказательство.

Следует из Теорем 1 и 4. ∎

Из Теорем 3 и 5 следует важный вывод:

Утверждение 1.

Использование дополнительной памяти в обратимых схемах, состоящих из функциональных элементов множества $\Omega_{n}^{2}$ , почти всегда позволяет снизить сложность обратимой схемы.

Стоит отметить, что данный факт снижения сложности за счет дополнительных входов в общем случае не был установлен для схем, состоящих из классических необратимых функциональных элементов.

3 Нижняя оценка сложности обратимых схем

В работах [7, 6] было показано, что для любой подстановки $h\in A(\mathbb{Z}_{2}^{n})$ при $n>3$ можно построить задающую ее обратимую схему, состоящую из функциональных элементов множества $\Omega_{n}^{2}$ . Другими словами, множество подстановок, задаваемых всеми функциональными элементами из $\Omega_{n}^{2}$ , $n>3$ , генерирует знакопеременную группу $A(\mathbb{Z}_{2}^{n})$ .

В работе [10] было показано, что длина $L(G,M)$ группы подстановок $G$ относительно системы образующих $M$ удовлетворяет неравенству

L(G,M)\geqslant\left\lceil\log_{|M|}|G|\right\rceil\;.

(3)

В нашем случае $G=A(\mathbb{Z}_{2}^{n})$ , $|G|=(2^{n})!/2$ , $|M|=|\Omega_{n}^{2}|$ . Поскольку мощность множества $\Omega_{n}^{2}$ равна

|\Omega_{n}^{2}|=\sum_{k=0}^{2}{(n-k){n\choose k}}=\frac{n^{3}}{2}\left(1+o(1)\right)\;,

(4)

то мы можем вывести простую нижнюю оценку для $L(n,0)$ :

	$\displaystyle L(n,0)\gtrsim\frac{\log_{2}((2^{n})!/2)}{\log_{2}(n^{3}/2)}\gtrsim\frac{\log_{2}2^{n2^{n}}-\log_{2}e^{2^{n}}}{3\log_{2}n}\;,$
	$\displaystyle L(n,0)\gtrsim\frac{n2^{n}}{3\log_{2}n}\;.$		(5)

Нижняя оценка (3) в работе [10] строго доказана не была и, по мнению автора, основывается на не совсем верном предположении, что достаточно рассмотреть только все возможные произведения подстановок из $M$ длины ровно $L(G,M)$ , чтобы получить все элементы группы подстановок $G$ . Данное предположение верно только для системы образующих $M$ , содержащей тождественную подстановку. В противном случае, необходимо рассматривать все возможные произведения подстановок из $M$ длины менее $L(G,M)$ в том числе. Из описания множества $\Omega_{n}^{2}$ видно, что множество подстановок, задаваемых всеми функциональными элементами $\Omega_{n}^{2}$ , не содержит тождественной подстановки.

Для того, чтобы получить общую нижнюю оценку $L(n,q)$ , также необходимо учитывать те булевы отображения, которые могут быть реализованы обратимой схемой с $(n+q)$ входами. Таких отображений не более $A_{n+q}^{n}$ (количество размещений из $(n+q)$ по $n$ без повторений).

Перейдем теперь непосредственно к доказательству Теоремы 1.

Доказательство Теоремы 1.

Докажем при помощи мощностного метода Риордана-Шеннона, что верно неравенство

L(n,q)\geqslant\frac{2^{n}(n-2)}{3\log_{2}(n+q)}-\frac{n}{3}\;.

Пусть $r=|\Omega_{n}^{2}|$ . Из формулы (4) следует, что

	$\displaystyle r=\sum_{k=0}^{2}{(n-k)\binom{n}{k}}=\frac{n^{3}-n^{2}+2n}{2}\;,$
	$\displaystyle\frac{n^{2}(n-1)}{2}+1<r\leqslant\frac{n^{3}}{2}\text{ \,\char 239\relax\char 240\relax\char 232\relax\, }n\geqslant 2\;.$

Обозначим через $\mathcal{C}^{*}(n,s)=r^{s}$ и $\mathcal{C}(n,s)$ количество всех обратимых схем, состоящих из функциональных элементов множества $\Omega_{n}^{2}$ , сложность которых равна $s$ и не превышает $s$ , соответственно. Тогда

	$\displaystyle\mathcal{C}(n,s)$	$\displaystyle=\sum_{i=0}^{s}{\mathcal{C}^{*}(n,i)}=\frac{r^{s+1}-1}{r-1}\leqslant\left(\frac{n^{3}}{2}\right)^{s+1}\cdot\frac{2}{n^{2}(n-1)}\;,$
	$\displaystyle\mathcal{C}(n,s)$	$\displaystyle\leqslant\left(\frac{n^{3}}{2}\right)^{s}\cdot\left(1+\frac{1}{n-1}\right)\text{ \,\char 239\relax\char 240\relax\char 232\relax\, }n\geqslant 2\;.$

Как было сказано выше, каждой обратимой схеме с $(n+q)$ входами соответствует не более $A_{n+q}^{n}$ различных булевых отображений $\mathbb{Z}_{2}^{n}\to\mathbb{Z}_{2}^{n}$ . Следовательно, верно следующее неравенство:

\mathcal{C}(n+q,L(n,q))\cdot A_{n+q}^{n}\geqslant|F(n,q)|\;.

Поскольку $|F(n,q)|\geqslant|A(\mathbb{Z}_{2}^{n})|=(2^{n})!\mathop{/}2$ и $A_{n+q}^{n}\leqslant(n+q)^{n}$ , то

\left(\frac{(n+q)^{3}}{2}\right)^{L(n,q)}\cdot\left(1+\frac{1}{n+q-1}\right)\cdot(n+q)^{n}\geqslant(2^{n})!\mathop{/}2\;.

Несложно убедиться, что при $n>0$ верно неравенство $(2^{n})!\geqslant(2^{n}\mathop{/}e)^{2^{n}}$ . Следовательно,

L(n,q)\cdot(3\log_{2}(n+q)-1)+\log_{2}\left(1+\frac{1}{n+q-1}\right)+\\ +n\log_{2}(n+q)\geqslant 2^{n}(n-\log_{2}e)\;.

Отсюда следует неравенство из условия теоремы

L(n,q)\geqslant\frac{2^{n}(n-2)}{3\log_{2}(n+q)}-\frac{n}{3}\;.

∎

4 Верхняя оценка сложности обратимых схем без дополнительных входов

В работе [9] был предложен алгоритм синтеза обратимой схемы, состоящей из функциональных элементов множества $\Omega_{n}^{2}$ и задающей подстановку $h\in A(\mathbb{Z}_{2}^{n})$ , использующий теорию групп подстановок. Данный алгоритм синтеза основан на представлении подстановки $h$ в виде произведения пар независимых транспозиций. Было показано, что схема $\mathfrak{S}$ , синтезированная данным алгоритмом, имеет сложность $L(\mathfrak{S})\lesssim 7n2^{n}$ . Отсюда можно вывести простую верхнюю оценку для $L(n,0)$ :

L(n,0)\lesssim 7n2^{n}\;.

(6)

Если взять за основу данный подход синтеза, то верхнюю оценку (6) можно существенно улучшить.

Доказательство Теоремы 2.

Доказательство основано на описании алгоритма синтеза, позволяющего получить для любой четной подстановки $h\in A(\mathbb{Z}_{2}^{n})$ задающую ее обратимую схему $\mathfrak{S}$ со сложностью:

L(\mathfrak{S})\leqslant\frac{3n2^{n+4}}{\log_{2}n-\log_{2}\log_{2}n-\log_{2}\phi(n)}\left(1+\varepsilon(n)\right)\;,

где $\phi(n)<n\mathop{/}\log_{2}n$ — любая сколь угодно медленно растущая функция, а функция $\varepsilon(n)$ равна:

\varepsilon(n)=\frac{1}{6\phi(n)}+\left(\frac{8}{3}+o(1)\right)\frac{\log_{2}n\cdot\log_{2}\log_{2}n}{n}\;.

Каждую подстановку $h\in A(\mathbb{Z}_{2}^{n})$ можно представить в виде произведения независимых циклов, причем сумма длин этих циклов не превосходит $2^{n}$ . Произведение двух независимых циклов можно выразить следующим образом:

(i_{1},i_{2},\ldots,i_{l_{1}})\circ(j_{1},j_{2},\ldots,j_{l_{2}})=\\ =(i_{1},i_{2})\circ(j_{1},j_{2})\circ(i_{1},i_{3},\ldots,i_{l_{1}})\circ(j_{1},j_{3},\ldots,j_{l_{2}})\;.

(7)

Цикл длины $l\geqslant 5$ можно выразить следующим образом:

(i_{1},i_{2},\ldots,i_{l})=(i_{1},i_{2})\circ(i_{3},i_{4})\circ(i_{1},i_{3},i_{5},i_{6},\ldots,i_{l})\;.

(8)

Представим подстановку $h$ в виде произведения независимых транспозиций, разбитых на группы по $K$ транспозиций в каждой, и некоторой остаточной подстановки $h^{\prime}$ :

h=\mathop{\circ}\limits_{\mathbf{x}_{t},\mathbf{y}_{t}\in\mathbb{Z}_{2}^{n}}{\left((\mathbf{x}_{1},\mathbf{y}_{1})\circ\ldots\circ(\mathbf{x}_{K},\mathbf{y}_{K})\right)}\circ h^{\prime}\;.

(9)

Оценим количество независимых циклов и их длину в представлении подстановки $h^{\prime}$ . Согласно формулам (7) и (8) из подстановки $h^{\prime}$ нельзя получить $K$ независимых транспозиций, если количество независимых циклов в ее представлении строго меньше $K$ и их длина строго меньше 5-ти. Таким образом, сумма длин циклов в представлении $h^{\prime}$ не превосходит $4(K-1)$ .

Обозначим через $M_{g}$ множество подвижных точек подстановки $g\in S(\mathbb{Z}_{2}^{n})$ :

M_{g}=\{\,\mathbf{x}\in\mathbb{Z}_{2}^{n}\mid g(\mathbf{x})\neq\mathbf{x}\,\}\;.

Тогда $|M_{h}|\leqslant 2^{n}$ , $|M_{h^{\prime}}|\leqslant 4(K-1)$ .

Из формул (7)–(9) следует, что в представлении подстановки $h$ в виде произведения траспозиций можно получить не более $|M_{h}|\mathop{/}K$ групп, в каждой из которых $K$ независимых транспозиций, а в представлении подстановки $h^{\prime}$ в виде произведения траспозиций можно получить не более $|M_{h^{\prime}}|\mathop{/}2$ пар независимых транспозиций и не более одной пары зависимых транспозиций. Пара зависимых транспозиций $(i,j)\circ(i,k)$ выражается через произведение двух пар независимых транспозиций:

(i,j)\circ(i,k)=((i,j)\circ(r,s))\circ((r,s)\circ(i,k))\;.

Обозначим через $f_{h}$ булево отображение $\mathbb{Z}_{2}^{n}\to\mathbb{Z}_{2}^{n}$ , соответствующее подстановке $h$ . Тогда можно оценить сверху $L(f_{h},0)$ следующим образом:

	$\displaystyle L(f_{h},0)\leqslant\frac{\|M_{h}\|}{K}\cdot L(f_{g^{(K)}},0)+\left(\frac{\|M_{h^{\prime}}\|}{2}+2\right)\cdot L(f_{g^{(2)}},0)\;,$
	$\displaystyle L(f_{h},0)\leqslant\frac{2^{n}}{K}L(f_{g^{(K)}},0)+2K\cdot L(f_{g^{(2)}},0)\;.$		(10)

где $g^{(i)}$ — произвольная подстановка, представляющая собой произведение $i$ независимых транспозиций. Опишем алгоритм синтеза, позволяющий получить обратимую схему $\mathfrak{S}$ , реализующую отображение $f_{h}$ .

Рассмотрим произвольную подстановку $g^{(K)}$ . Обозначим через $k$ величину $|M_{g^{(K)}}|$ , тогда $k=2K$ . Суть описываемого алгоритма заключается в действии сопряжением на подстановку $g^{(K)}$ таким образом, чтобы получить некоторую новую подстановку, соответствующую одному обобщенному элементу Тоффоли. Напомним, что действие сопряжением не меняет цикловой структуры подстановки, поэтому подстановка $g^{(K)}$ в результате действия сопряжением всегда будет оставаться произведением $K$ независимых транспозиций. Любой элемент $E$ из множества $\Omega_{n}^{2}$ задает подстановку $h_{E}$ на множестве двоичных векторов $\mathbb{Z}_{2}^{n}$ . Для этой подстановки верно равенство $h^{-1}_{E}=h_{E}$ . Следовательно, применение к $g^{(K)}$ действия сопряжением подстановкой $h_{E}$ , записываемое как $h^{-1}_{E}\circ g^{(K)}\circ h_{E}$ , соответствует присоединению элемента $E$ к началу и к концу текущей обратимой подсхемы.

Пусть $g^{(K)}=(\mathbf{x}_{1},\mathbf{y}_{1})\circ\ldots\circ(\mathbf{x}_{K},\mathbf{y}_{K})$ . Составим матрицу $A$ следующим образом:

A=\left(\begin{matrix}\mathbf{x}_{1}\\ \mathbf{y}_{1}\\ \ldots\\ \mathbf{x}_{K}\\ \mathbf{y}_{K}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{1,1}&\ldots&a_{1,n}\\ a_{2,1}&\ldots&a_{2,n}\\ {3}\\ a_{k-1,1}&\ldots&a_{k-1,n}\\ a_{k,1}&\ldots&a_{k,n}\\ \end{matrix}\right)\;.

(11)

Наложим на значение $k$ следующее ограничение: $k$ должно быть степенью двойки, $2^{\lfloor\log_{2}k\rfloor}=k$ . Если $k\leqslant\log_{2}n$ , то в матрице $A$ существует не более $2^{k}$ и не менее $\log_{2}k$ попарно различных столбцов. Без ограничения общности будем считать, что такими столбцами являются первые $d\leqslant 2^{k}$ столбцов матрицы. Тогда для любого $j$ -го столбца, $j>d$ , найдется равный ему $i$ -й столбец, $i\leqslant d$ . Следовательно, применив к подстановке $g^{(K)}$ действие сопряжением подстановкой, задаваемой функциональным элементом $C_{i;j}$ , можно обнулить $j$ -й столбец в матрице $A$ (для этого потребуется 2 элемента CNOT). Обнуляя таким образом все столбцы с индексами больше $d$ , использовав $L_{1}\leqslant 2(n-d)$ функциональных элементов CNOT, мы получим новую подстановку $g_{1}^{(K)}$ и соответствующую ей матрицу $A_{1}$ следующего вида:

A_{1}=\left(\phantom{\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix}}\right.\begin{matrix}a_{1,1}&\ldots&a_{1,d}\\ a_{2,1}&\ldots&a_{2,d}\\ {3}\\ a_{k-1,1}&\ldots&a_{k-1,d}\\ a_{k,1}&\ldots&a_{k,d}\\ \end{matrix}\phantom{\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix}}\overbrace{\begin{matrix}0&\ldots&0\\ 0&\ldots&0\\ {3}\\ 0&\ldots&0\\ 0&\ldots&0\\ \end{matrix}}^{n-d}\left.\phantom{\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix}}\right)\;.

Теперь для всех $a_{1,i}=1$ применяем к $g_{1}^{(K)}$ действие сопряжением подстановкой, задаваемой функциональным элементом $N_{i}$ . Для этого потребуется $L_{2}\leqslant 2d$ элементов NOT. В итоге получим подстановку $g_{2}^{(K)}$ и соответствующую ей матрицу $A_{2}$ (элементы матрицы обозначены через $b_{i,j}$ , чтобы показать их возможное отличие от элементов матрицы $A_{1}$ ):

A_{2}=\left(\phantom{\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix}}\right.\begin{matrix}0&\ldots&0\\ b_{2,1}&\ldots&b_{2,d}\\ {3}\\ b_{k-1,1}&\ldots&b_{k-1,d}\\ b_{k,1}&\ldots&b_{k,d}\\ \end{matrix}\phantom{\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix}}\overbrace{\begin{matrix}0&\ldots&0\\ 0&\ldots&0\\ {3}\\ 0&\ldots&0\\ 0&\ldots&0\\ \end{matrix}}^{n-d}\left.\phantom{\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix}}\right)\;.

Следующим шагом является приведение матрицы $A_{2}$ к каноническому виду, где каждая строка, если ее записать в обратном порядке, представляет собой запись в двоичной системе счисления числа <<номер строки минус 1>>.

Все строки матрицы $A_{2}$ различны. Первая строка уже имеет канонический вид, поэтому мы последовательно будем приводить оставшиеся строки к каноническому виду, начиная со второй. Предположим, что текущая строка имеет номер $i$ , и все строки с номерами от $1$ до $(i-1)$ имеют канонический вид. Возможны два случая:

1.

Существует ненулевой элемент в $i$ -й строке с индексом $j>\log_{2}k$ : $b_{i,j}=1$ . В этом случае для всех элементов матрицы $b_{i,j^{\prime}}$ , $j^{\prime}\neq j$ , $j^{\prime}\leqslant d$ , не равных $j^{\prime}$ -ой цифре в двоичной записи числа $(i-1)$ , мы применяем к $g_{2}^{(K)}$ действие сопряжением подстановкой, задаваемой функциональным элементом $C_{j;j^{\prime}}$ . Для этого потребуется не более $2d$ элементов CNOT. После этого нам остается только обнулить $j$ -й элемент текущей строки. Для этого мы применяем к $g_{2}^{(K)}$ действие сопряжением подстановкой, задаваемой функциональным элементом $C_{I;j}$ , где $I$ — множество индексов ненулевых цифр в двоичной записи числа $(i-1)$ . К примеру, если $i=6$ , то $I=\{\,1,3\,\}$ . Поскольку $|I|\leqslant\log_{2}k$ , мы можем заменить данный функциональный элемент $C_{I;j}$ композицией не более $8\log_{2}k$ функциональных элементов 2-CNOT [7]. Следовательно, для данного действия сопряжением нам потребуется не более $16\log_{2}k$ элементов 2-CNOT.

Итак, суммируя количество используемых функциональных элементов, мы получаем, что для приведения $i$ -й строки к каноническому виду в данном случае требуется $L_{3}^{(i)}\leqslant 2d+16\log_{2}k$ элементов из множества $\Omega_{n}^{2}$ .
2.

Не существует ненулевого элемента в $i$ -й строке с индексом $j>\log_{2}k$ : $b_{i,j}=0$ для всех $j>\log_{2}k$ . В этом случае мы применяем к $g_{2}^{(K)}$ действие сопряжением подстановкой, задаваемой функциональным элементом $C_{I;\log_{2}k+1}$ , где $I$ — множество индексов ненулевых элементов текущей строки. Т. к. все строки матрицы различны и при этом все предыдущие строки находятся в каноническом виде, мы можем утверждать, что значение элемента матрицы $b_{j,\log_{2}k+1}$ после данного действия сопряжением будет изменено только в случае, если $j\geqslant i$ . Поскольку $|I|\leqslant\log_{2}k$ , мы можем заменить данный функциональный элемент $C_{I;j}$ композицией не более $8\log_{2}k$ функциональных элементов 2-CNOT [7]. Следовательно, для данного действия сопряжением нам потребуется не более $16\log_{2}k$ элементов 2-CNOT. После этого мы можем перейти к предыдущему случаю.

Итак, суммируя количество используемых функциональных элементов, мы получаем, что для приведения $i$ -й строки к каноническому виду в данном случае требуется $L_{3}^{(i)}\leqslant 2d+32\log_{2}k$ элементов из множества $\Omega_{n}^{2}$ .

После приведения матрицы $A_{2}$ к каноническому виду, мы получим новую подстановку $g_{3}^{(K)}$ и соответствующую ей матрицу $A_{3}$ следующего вида:

A_{3}=\left(\phantom{\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix}}\right.\overbrace{\begin{matrix}0&0&0&\ldots&0\\ 1&0&0&\ldots&0\\ {5}\\ 0&1&1&\ldots&1\\ 1&1&1&\ldots&1\\ \end{matrix}}^{\log_{2}k}\phantom{\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix}}\overbrace{\begin{matrix}0&\ldots&0\\ 0&\ldots&0\\ {3}\\ 0&\ldots&0\\ 0&\ldots&0\\ \end{matrix}}^{n-\log_{2}k}\left.\phantom{\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix}}\right)\;.

Для этого в сумме потребуется $L_{3}$ функциональных элементов множества $\Omega_{n}^{2}$ :

L_{3}=\sum_{i=2}^{k}{L_{3}^{(i)}}\leqslant k(2d+32\log_{2}k)\;.

При этом мы получили еще одно ограничение на значение $k$ : значение $\log_{2}k$ должно быть строго меньше $n$ , иначе не всегда будет возможно привести матрицу $A_{2}$ к каноническому виду.

На последнем шаге для каждого $i>\log_{2}k$ мы применяем к $g_{3}^{(K)}$ действие сопряжением подстановкой, задаваемой функциональным элементом $N_{i}$ . Для этого нам потребуется $L_{4}=2(n-\log_{2}k)$ элементов NOT. В итоге получим подстановку $g_{4}^{(K)}$ и соответствующую ей матрицу $A_{4}$ следующего вида:

A_{4}=\left(\phantom{\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix}}\right.\overbrace{\begin{matrix}0&0&0&\ldots&0\\ 1&0&0&\ldots&0\\ {5}\\ 0&1&1&\ldots&1\\ 1&1&1&\ldots&1\\ \end{matrix}}^{\log_{2}k}\phantom{\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix}}\overbrace{\begin{matrix}1&\ldots&1\\ 1&\ldots&1\\ {3}\\ 1&\ldots&1\\ 1&\ldots&1\\ \end{matrix}}^{n-\log_{2}k}\left.\phantom{\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{matrix}}\right)\;.

Подстановка $g_{4}^{(K)}$ задается одним функциональным элементом $C_{n,n-1,\ldots,\log_{2}k+1;1}$ . Этот элемент имеет $(n-\log_{2}k)$ контролирующих входов, поэтому он может быть заменен композицией не более $L_{5}\leqslant 8(n-\log_{2}k)$ функциональных элементов 2-CNOT [7].

Мы получили подстановку $g_{4}^{(K)}$ , применяя к $g^{(K)}$ действие сопряжением подстановками определенного вида. Если мы применим к $g_{4}^{(K)}$ действие сопряжением в точности теми же подстановками, но в обратном порядке, мы получим $g^{(K)}$ . В терминах синтеза обратимой логики это означает, что мы должны присоединить ко входу и выходу функционального элемента $C_{n,n-1,\ldots,\log_{2}k+1;1}$ все те функциональные элементы, что мы использовали в наших преобразованиях исходной матрицы $A$ , но в обратном порядке, и как результат, мы получим обратимую схему $\mathfrak{S}_{K}$ , задающую подстановку $g^{(K)}$ .

Таким образом, можно утверждать, что $L(g^{(K)},0)\leqslant L(\mathfrak{S}_{K})$ и

L(g^{(K)},0)\leqslant\sum_{i=1}^{5}{L_{i}}\leqslant 2(n-d)+2d+\\ +k(2d+32\log_{2}k)+2(n-\log_{2}k)+8(n-\log_{2}k)\;,

L(g^{(K)},0)\leqslant 12n+k2^{k+1}+32k\log_{2}k-10\log_{2}k\;.

(12)

Отсюда также следует, что $L(g^{(2)},0)\leqslant 12n+364$ .

Подставляя полученные верхние оценки в формулу (10), мы получаем следующую верхнюю оценку для $L(f_{h},0)$ :

L(f_{h},0)\leqslant\frac{2^{n+1}}{k}(12n+k2^{k+1}+32k\log_{2}k-10\log_{2}k)+k(12n+364)\;.

(13)

Описанным алгоритмом требуется, чтобы $k$ было степенью двойки и чтобы $\log_{2}k$ было строго меньше $n$ . Пусть $m=\log_{2}n-\log_{2}\log_{2}n-\log_{2}\phi(n)$ и $k=2^{\lfloor\log_{2}m\rfloor}$ , где $\phi(n)<n\mathop{/}\log_{2}n$ — сколь угодно медленно растущая функция. Тогда $m/2\leqslant k\leqslant m$ и

	$\displaystyle L(f_{h},0)\leqslant\frac{2^{n+2}}{m}(12n+2m2^{m}+32m\log_{2}m)+m(12n+364)\;,$
	$\displaystyle L(f_{h},0)\leqslant\frac{3n2^{n+4}}{m}\left(1+\frac{2^{m}\log_{2}n}{6n}+\left(\frac{8}{3}+o(1)\right)\frac{\log_{2}n\cdot\log_{2}\log_{2}n}{n}\right)\;.$

Отсюда следует итоговая верхняя оценка для $L(f_{h},0)$ :

L(f_{h},0)\leqslant\frac{3n2^{n+4}}{\log_{2}n-\log_{2}\log_{2}n-\log_{2}\phi(n)}\left(1+\varepsilon(n)\right)\;,

где функция $\varepsilon(n)$ равна:

\varepsilon(n)=\frac{1}{6\phi(n)}+\left(\frac{8}{3}+o(1)\right)\frac{\log_{2}n\cdot\log_{2}\log_{2}n}{n}\;.

Поскольку мы описали алгоритм синтеза обратимой схемы $\mathfrak{S}$ для произвольной подстановки $h$ , то $L(n,0)\leqslant L(f_{h},0)$ . ∎

Отметим также, что если представлять подстановку $h\in A(\mathbb{Z}_{2}^{n})$ в виде произведения пар независимых транспозиций, то в этом случае задающая ее обратимая схема $\mathfrak{S}$ , синтезируемая описанным алгоритмом, согласно формуле (13) будет иметь сложность $L(\mathfrak{S})\lesssim 6n2^{n}$ . Данная сложность асимптотически ниже, чем сложность обратимой схемы, синтезированной алгоритмом из работы [9] (см. формулу (6)).

5 Верхняя оценка сложности обратимых схем с дополнительными входами

Функциональный элемент $k$ -CNOT при $k<(n-1)$ можно заменить композицией не более $8k$ элементов 2-CNOT [7], если не использовать дополнительные входы. Однако если использовать $(k-2)$ дополнительных входов, то элемент $k$ -CNOT при любом значении $k<n$ можно заменить композицией $(2k-3)$ элементов 2-CNOT. При этом после такой замены на всех дополнительных выходах будет значение 0, поэтому их можно будет использовать в дальнейшем. Если же элемент $k$ -CNOT заменить композицией $(k-1)$ элементов 2-CNOT с использованием $(k-2)$ дополнительных входов, то на дополнительных выходах после замены могут быть значения, отличные от 0. Как следствие, эти дополнительные выходы нельзя будет использовать в дальнейшем.

Таким образом, если в алгоритме синтеза, описанном в предыдущем разделе, использовать ровно $(n-3)$ дополнительных входов, то в формуле (12) слагаемое $12n=4n+8n$ можно заменить на $6n=4n+2n$ . В этом случае из формулы (13) следует, что $L(n,n-3)\leqslant 3n2^{n+3}(1+o(1))\mathop{/}\log_{2}n$ . Если же в описанном алгоритме синтеза использовать $q_{0}\geqslant(n-3)2^{n+2}/(\log_{2}n-\log_{2}\log_{2}n-\log_{2}\phi(n))$ дополнительных входов, где $\phi(n)<n\mathop{/}\log_{2}n$ — сколь угодно медленно растущая функция, то в формуле (12) слагаемое $12n=4n+8n$ можно заменить на $5n=4n+n$ . В этом случае из формулы (13) следует, что $L(n,q_{0})\leqslant 5n2^{n+2}/\log_{2}n$ . Однако можно получить существенно меньшую верхнюю оценку для $L(n,q)$ при использовании гораздо меньшего количества дополнительных входов, что и будет показано далее.

Лупановым О. Б. был предложен асимптотически наилучший метод синтеза схемы из функциональных элементов в базисе $\{\,\neg,\wedge,\vee\,\}$ , реализующей заданную булеву функцию [2]. Было доказано, что для булевой функции от $n$ переменных сложность схемы эквивалентна $2^{n}/n$ . Воспользуемся данным результатом и применим аналогичный подход для синтеза обратимой схемы, состоящей из функциональных элементов множества $\Omega_{n}^{2}$ и реализующей булево отображение $f\in F(n,q)$ с использованием $q$ дополнительных входов.

Базис функциональных элементов $\{\,\neg,\oplus,\wedge\,\}$ является полным. Каждый элемент этого базиса можно выразить через композицию функциональных элементов NOT, CNOT и 2-CNOT. Из рис. 1 видно, что для этого требуется не более двух функциональных элементов и не более одного дополнительного входа.

Refer to caption — Рис. 1: Выражение функциональных элементов базиса $\{\,\neg,\oplus,\wedge\,\}$ через композицию функциональных элементов NOT, CNOT и 2-CNOT.

Также нам потребуется следующая лемма о сложности обратимой схемы, реализующей все конъюнкции $n$ переменных вида $x_{1}^{a_{1}}\wedge\ldots\wedge x_{n}^{a_{n}}$ , $a_{i}\in\mathbb{Z}_{2}$ .

Лемма 1.

Все конъюнкции $n$ переменных вида $x_{1}^{a_{1}}\wedge\ldots\wedge x_{n}^{a_{n}}$ , $a_{i}\in\mathbb{Z}_{2}$ , можно реализовать обратимой схемой $\mathfrak{S}_{n}$ , состоящей из функциональных элементов множества $\Omega_{n+q}^{2}$ и имеющей сложность $L(\mathfrak{S}_{n})\sim 2^{n}$ при использовании $q(\mathfrak{S}_{n})\sim 2^{n}$ дополнительных входов.

Доказательство.

Сперва мы реализуем все инверсии $\bar{x}_{i}$ , $1\leqslant i\leqslant n$ . Это может быть сделано при помощи $L_{1}=2n$ элементов NOT и CNOT при использовании $q_{1}=n$ дополнительных входов.

Искомую обратимую схему $\mathfrak{S}_{n}$ мы строим следующим образом: при помощи обратимых схем $\mathfrak{S}_{\lceil n\mathop{/}2\rceil}$ и $\mathfrak{S}_{\lfloor n\mathop{/}2\rfloor}$ мы реализуем все конъюнкции первых $\lceil n\mathop{/}2\rceil$ и последних $\lfloor n\mathop{/}2\rfloor$ переменных. Затем мы реализуем конъюнкции выходов этих двух схем каждого с каждым. Для этого потребуется $L_{2}=2^{n}$ элементов 2-CNOT и $q_{2}=2^{n}$ дополнительных входов.

Отсюда следует, что

L(\mathfrak{S}_{n})=q(\mathfrak{S}_{n})=2^{n}+L(\mathfrak{S}_{\lceil n\mathop{/}2\rceil})+L(\mathfrak{S}_{\lfloor n\mathop{/}2\rfloor})=2^{n}(1+o(1))\;.

∎

Перейдем теперь непосредственно к доказательству Теоремы 4.

Доказательство Теоремы 4.

Опишем алгоритм синтеза обратимой схемы $\mathfrak{S}$ , реализующей заданное булево отображение $f\colon\mathbb{Z}_{2}^{n}\to\mathbb{Z}_{2}^{n}$ со сложностью $L(\mathfrak{S})\lesssim 2^{n}$ при использовании $q_{0}\sim n2^{n-\lceil n\mathop{/}\phi(n)\rceil}$ дополнительных входов, где $\phi(n)\leqslant n\mathop{/}(\log_{2}n+\log_{2}\psi(n))$ и $\psi(n)$ — любые сколь угодно медленно растущие функции.

Отображение $f$ можно представить следующим образом:

f(\mathbf{x})=\bigoplus_{a_{k+1},\ldots,a_{n}\in\mathbb{Z}_{2}}{x_{k+1}^{a_{k+1}}\wedge\ldots\wedge x_{n}^{a_{n}}}\wedge f(\langle x_{1},\ldots,x_{k},a_{k+1},\ldots,a_{n}\rangle)\;.

(14)

Каждое из $2^{n-k}$ булевых отображений $f_{i}(\langle x_{1},\ldots,x_{k}\rangle)=f(\langle x_{1},\ldots,x_{k},a_{k+1},\ldots,a_{n}\rangle)$ , где $\sum_{j=1}^{n-k}{a_{k+j}2^{j-1}}=i$ , является отображением вида $\mathbb{Z}_{2}^{k}\to\mathbb{Z}_{2}^{n}$ и может быть представлено системой $n$ координатных функций $f_{i,j}(\mathbf{x})\colon\mathbb{Z}_{2}^{k}\to\mathbb{Z}_{2}$ , $\mathbf{x}\in\mathbb{Z}_{2}^{k}$ , $1\leqslant j\leqslant n$ .

Каждая координатная функция $f_{i,j}(\mathbf{x})$ может быть получена при помощи аналога СДНФ, в котором дизъюнкции заменяются на сложение по модулю 2:

f_{i,j}(\mathbf{x})=\bigoplus_{\begin{subarray}{c}\boldsymbol{\sigma}\in\mathbb{Z}_{2}^{k}\\ f_{i,j}(\boldsymbol{\sigma})=1\end{subarray}}x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\ldots\wedge x_{k}^{\sigma_{k}}\;.

(15)

Все $2^{k}$ конъюнкций вида $x_{1}^{\sigma_{1}}\wedge\ldots\wedge x_{k}^{\sigma_{k}}$ можно разделить на группы, в каждой из которых будет не более $s$ конъюнкций. Обозначим через $p$ количество таких групп: $p=\lceil 2^{k}\mathop{/}s\rceil$ . Используя конъюнкции одной группы, мы можем реализовать не более $2^{s}$ булевых функций по формуле (15). Обозначим через $G_{i}$ множество булевых функций, которые могут быть реализованы при помощи конъюнкций $i$ -й группы, $1\leqslant i\leqslant p$ . Тогда $|G_{i}|\leqslant 2^{s}$ . Следовательно, мы можем переписать формулу (15) следующим образом:

f_{i,j}(\mathbf{x})=\bigoplus_{\begin{subarray}{c}t=1\ldots p\\ g_{j_{t}}\in G_{t}\\ 1\leqslant j_{t}\leqslant|G_{t}|\end{subarray}}g_{j_{t}}(\mathbf{x})\;.

(16)

Отметим, что все булевы функции множества $G_{i}$ можно реализовать, используя такой же подход, что и в Лемме 1. В этом случае каждый элемент 2-CNOT просто заменяется композицией двух элементов CNOT. Суммарно нам потребуется $L\lesssim 2^{s+1}$ элементов CNOT и $q\sim 2^{s}$ дополнительных входов.

Описываемый алгоритм синтеза конструирует обратимую схему $\mathfrak{S}$ , реализующую булево отображение $f$ (14), при помощи следующих подсхем:

1.

Подсхема $\mathfrak{S}_{1}$ , реализующая все конъюнкции первых $k$ переменных $x_{i}$ по Лемме 1 со сложностью $L_{1}\sim 2^{k}$ при использовании $q_{1}\sim 2^{k}$ дополнительных входов.
2.

Подсхема $\mathfrak{S}_{2}$ , реализующая все конъюнкции последних $(n-k)$ переменных $x_{i}$ по Лемме 1 со сложностью $L_{2}\sim 2^{n-k}$ при использовании $q_{2}\sim 2^{n-k}$ дополнительных входов.
3.

Подсхема $\mathfrak{S}_{3}$ , реализующая все булевы функции $g\in G_{i}$ для всех $i\in\mathbb{Z}_{p}$ по формуле (15) со сложностью $L_{3}\sim p2^{s+1}$ при использовании $q_{3}\sim p2^{s}$ дополнительных входов (см. замечание выше про реализацию всех булевых функций множества $G_{i}$ ).
4.

Подсхема $\mathfrak{S}_{4}$ , реализующая все $n2^{n-k}$ координатных функций $f_{i,j}(\mathbf{x})$ , $i\in\mathbb{Z}_{2^{n-k}}$ , $j\in\mathbb{Z}_{n}$ , по формуле (16) со сложностью $L_{4}\leqslant pn2^{n-k}$ при использовании $q_{4}=n2^{n-k}$ дополнительных входов.
5.

Подсхема $\mathfrak{S}_{5}$ , реализующая булево отображение $f$ по формуле (14) со сложностью $L_{5}\leqslant n2^{n-k}$ при использовании $q_{5}=n$ дополнительных вдохов.

Будем искать параметры $k$ и $s$ , удовлетворяющие следующим условиям:

\left\{\begin{array}[]{lr}s=n-2k\;,&\\ k=\lceil n\mathop{/}\phi(n)\rceil\;,&\text{\char 227\relax\char 228\relax\char 229\relax $\phi(n)$\leavevmode\nobreak\ --- \char 237\relax\char 229\relax\char 234\relax\char 238\relax\char 242\relax\char 238\relax\char 240\relax\char 224\relax\char 255\relax \char 240\relax\char 224\relax\char 241\relax\char 242\relax\char 243\relax\char 249\relax\char 224\relax\char 255\relax \char 244\relax\char 243\relax\char 237\relax\char 234\relax\char 246\relax\char 232\relax\char 255\relax,}\\ 1\leqslant s<n\;,&\\ 1\leqslant k<n\mathop{/}2\;,&\\ \frac{2^{k}}{s}\geqslant\psi(n)\;,&\text{\char 227\relax\char 228\relax\char 229\relax $\psi(n)$\leavevmode\nobreak\ --- \char 237\relax\char 229\relax\char 234\relax\char 238\relax\char 242\relax\char 238\relax\char 240\relax\char 224\relax\char 255\relax \char 240\relax\char 224\relax\char 241\relax\char 242\relax\char 243\relax\char 249\relax\char 224\relax\char 255\relax \char 244\relax\char 243\relax\char 237\relax\char 234\relax\char 246\relax\char 232\relax\char 255\relax.}\end{array}\right.

В этом случае $p=\lceil 2^{k}\mathop{/}s\rceil\sim 2^{k}\mathop{/}s$ и $2^{\lceil n\mathop{/}\phi(n)\rceil}\geqslant s\psi(n)$ , откуда следует, что при $\phi(n)\leqslant n\mathop{/}(\log_{2}n+\log_{2}\psi(n))$ параметры $k$ и $s$ будут удовлетворять условиям выше.

Суммируя сложности обратимых подсхем $\mathfrak{S}_{1}$ – $\mathfrak{S}_{5}$ и количество используемых ими дополнительных входов, мы получаем следующие оценки для искомой обратимой схемы $\mathfrak{S}$ :

	$\displaystyle L(\mathfrak{S})\sim 2^{k}+2^{n-k}+p2^{s+1}+pn2^{n-k}+n2^{n-k}\sim 2^{k}+\frac{2^{n-k+1}}{s}+\frac{n2^{n}}{s}\;,$
	$\displaystyle q(\mathfrak{S})\sim 2^{k}+2^{n-k}+p2^{s}+n2^{n-k}+n\sim 2^{k}+\frac{2^{n-k}}{s}+n2^{n-k}\;.$

Следовательно, при $k=\lceil n\mathop{/}\phi(n)\rceil$ и $s=n-2k$ , где $\phi(n)\leqslant n\mathop{/}(\log_{2}n+\log_{2}\psi(n))$ и $\psi(n)$ — некоторые растущие функции, верны следующие соотношения:

	$\displaystyle L(\mathfrak{S})\sim 2^{\lceil n\mathop{/}\phi(n)\rceil}+\frac{2^{n+1}}{n(1-o(1))2^{\lceil n\mathop{/}\phi(n)\rceil}}+\frac{n2^{n}}{n(1-o(1))}\sim 2^{n}\;,$
	$\displaystyle q(\mathfrak{S})\sim 2^{\lceil n\mathop{/}\phi(n)\rceil}+\frac{2^{n}}{n(1-o(1))2^{\lceil n\mathop{/}\phi(n)\rceil}}+\frac{n2^{n}}{2^{\lceil n\mathop{/}\phi(n)\rceil}}\sim\frac{n2^{n}}{2^{\lceil n\mathop{/}\phi(n)\rceil}}\;.$

Поскольку мы описали алгоритм синтеза обратимой схемы $\mathfrak{S}$ для произвольного булева отображения $f$ , то $L(n,q_{0})\leqslant L(\mathfrak{S})\sim 2^{n}$ , где $q_{0}\sim n2^{n-\lceil n\mathop{/}\phi(n)\rceil}$ . ∎

Заключение

В данной работе был рассмотрен вопрос сложности обратимых схем, состоящих из функциональных элементов NOT, CNOT и 2-CNOT. Была изучена функция Шеннона сложности $L(n,q)$ обратимой схемы, реализующей какое-либо отображение $\mathbb{Z}_{2}^{n}\to\mathbb{Z}_{2}^{n}$ из множества $F(n,q)$ , как функции от $n$ и количества дополнительных входов схемы $q$ . Были доказаны нижние и верхние оценки для $L(n,q)$ для обратимых схем, использующих и не использующих дополнительные входы. Было показано, что использование дополнительной памяти в обратимых схемах, состоящих из функциональных элементов NOT, CNOT и 2-CNOT почти всегда позволяет снизить сложность обратимой схемы, чего нельзя утверждать в общем случае про схемы, состоящие из классических необратимых функциональных элементов.

При решении задачи синтеза обратимой схемы, реализующей какое-либо отображение, приходится искать компромисс между сложностью синтезированной схемы и количеством используемых дополнительных входов в схеме. Направлением дальнейших исследований является более детальное изучение зависимости этих двух величин друг от друга.

Список литературы

[1] C. E. Shannon, ‘‘The synthesis of two-terminal switching circuits’’, Bell System Technical Journal, 28:8 (1949), 59–98.
[2] С. В. Яблонский, Введение в дискретную математику, Высш. шк., М., 2003, 384 с.
[3] Н. А. Карпова, ‘‘О вычислениях с ограниченной памятью’’, Математические вопросы кибернетики, вып. 2, Наука, M., 1989, 131–144.
[4] R. Feynman, ‘‘Quantum Mechanical Computers’’, Optic News, 11:2 (1985), 11–20. DOI: 10.1364/ON.11.2.000011.
[5] D. A. Maslov, Reversible Logic Synthesis, Ph. D. Thesis, University of New Brunswick Fredericton, N. B., Canada, 2003, 165 pp.
[6] Д. В. Закаблуков, ‘‘Снижение вентильной сложности обратимых схем без использования таблиц эквивалентных замен композиций вентилей’’, Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн., 2014, \No 3. DOI: 10.7463/0314.0699195.
[7] V. V. Shende, A. K. Prasad, I. L. Markov, J. P. Hayes, ‘‘Synthesis of Reversible Logic Circuits’’, IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, 22:6 (2006), 710–722. DOI: 10.1109/TCAD.2003.811448.
[8] Д. В. Закаблуков, А. Е. Жуков, ‘‘Исследование схем из обратимых логических элементов’’, Информатика и системы управления в XXI веке, Сборник трудов \No 9 молодых ученых, аспирантов и студентов, МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 2012, 148–157.
[9] Д. В. Закаблуков, ‘‘Быстрый алгоритм синтеза обратимых схем на основе теории групп подстановок’’, Прикладная дискретная математика, 2014, \No 2, 101–109.
[10] М. М. Глухов, А. Ю. Зубов, ‘‘О длинах симметрических и знакопеременных групп подстановок в различных системах образующих (обзор)’’, Математические вопросы кибернетики, вып. 8, Наука, M., 1999, 5–32.