Une remarque sur l’invariant de Arf.

Résumé

Utilisant le $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$ formalisme de Witt $\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$ décrit dans [2] on donne une construction, sans calcul de changement de base, de l’invariant de Arf des forme quadratiques en caractéristique 2.

Abstract

An alternative construction of the Arf-invariant of quadratic forms in characteristic 2.

2020 Mathematics Subject Classification : Primary: 11E81; Secondary: 11E04.

1. Conoyau d’Artin-Schreier et extensions radicielles. — Soient $k$ un corps de caractéristique $p$ positive, $\Phi_{k}:k\rightarrow k,x\mapsto x^{p}$ et ${\cal P\/}_{k}$ ses Frobenius et Artin-Schreier (i.e. l’endomorphisme ${\cal P\/}=\Phi-{\rm Id\/}:k\rightarrow k$ du groupe additif de $k$ ).

Lemme 0. — Une extension radicielle $\iota:k\subset K$ induit un isomorphisme

[\iota]:k/{\cal P}_{k}\,(k)\xrightarrow[]{\sim}K/{\cal P}_{K}\,(K)

Démonstration. — Soit $a$ dans $k$ avec $a={\cal P\/}_{K}\,(x)=x^{p}-x$ où $x$ est dans $K$ . Alors $x$ est dans $k$ , puisque l’équation $X^{p}-X-a=0$ est séparable, d’où l’injectivité.

Soit $x$ dans $K$ de hauteur $n$ sur $k$ , ainsi $x^{p^{n}}=y$ est dans $k$ , et $x=y-x^{p^{n}}+x^{p^{n-1}}+\cdots-x^{p}+x=y-{\cal P\/}_{K}\,(x^{p^{n-1}}+\cdots+x)$ , d’où la surjectivité.

2. Vocabulaire du formalisme de Witt (Cf. [2]). — Une forme quadratique sur un corps $k$ est une application $q:V\rightarrow k$ définie sur un $k\/$ -espace vectoriel $V$ de dimension finie et telle que $(x,\,y)\mapsto b\,(x,\,y)=q\,(x+y)-q\,(x)-q\,(y)$ est bilinéaire non dégénérée, la forme bilinéaire de $q$ . Un $b\/$ -Lagrangien de $b$ est un sous-espace $L$ de $V$ égal à son orthogonal. C’est un $q\/$ -Lagrangien si de plus $q\,(L)=0$ . Une forme quadratique est neutre si elle a un $q\/$ -Lagrangien. Le quotient du monoïde de somme orthogonale des formes quadratiques sur $k$ par le sous-monoïde des formes neutres est un groupe, le groupe de Witt quadratique $WQ\,(k)$ du corps $k$ .

3. Formes quadratiques sur un corps parfait de caractéristique $2$ . — Soit $q:V\!\rightarrow\!K$ une forme quadratique sur un corps parfait de caractéristique $2$ . On note $\sqrt{{}^{\ }}$ l’inverse de $\Phi_{K}$ . La forme bilinéaire $b$ de $q$ est alternée car $b\,(x,x)=2\,q\,(x)=0$ pour tout $x$ de $V$ . Ayant une base symplectique (C.f. [3] I 3.5), cette forme a un $b\/$ -Lagrangien, $L$ . La fonction $\sqrt{q}$ est linéaire sur $L$ car pour $x,y$ de $L=L^{\perp}$ et $\lambda$ de $K$ on a : $\sqrt{q\,(x+y)}=\sqrt{q\,(x)+b\,(x,y)+q\,(y)}=\sqrt{q\,(x)+q\,(y)}=\sqrt{q\,(x)}+\sqrt{q\,(y)}$ et $\sqrt{q\,(\lambda\,x)}=\sqrt{\lambda^{2}\,q(x)}=\lambda\,\sqrt{q\,(x)}$ . Il y a donc dans $V$ , car $b$ est non dégénérée, un vecteur de Wu $\omega$ de $L$ , bien défini modulo $L^{\perp}=L$ par la relation $b\,(\omega,l)=-\sqrt{q\,(l)}$ pour tout $l$ de $L$ . Donc $q\,(\omega+l)=q\,(\omega)+b\,(\omega,l)+q\,(l)=q\,(\omega)-\sqrt{q\,(l)}+\Phi\,(\sqrt{q\,(l)})=q\,(\omega)+{\cal P\/}\,(\sqrt{q\,(l)})$ :

Lemme 1. — Quand $\omega+l$ parcourre la classe de $\omega$ modulo $L$ alors $q\,(\omega+l)$ est nul si $q$ est nulle sur $L$ et décrit une classe modulo ${\cal P\/}\,(K)$ sinon.

Proposition. — La classe modulo ${\cal P\/}\,(K)$ de $q\,(\omega)$ ne dépend que de la classe de Witt de $q$ et $[q]\mapsto[q\,(\omega)]$ induit l’isomorphisme

{\rm Parf\/}:WQ\,(K)\xrightarrow[]{\sim}K/{\cal P\/}\,(K)

du groupe de Witt quadratique du corps $K$ sur le conoyau de son Artin-Schreier.

Démonstration. — Si $\omega$ est vecteur de Wu d’un $q\/$ -Lagrangien alors $q\,(\omega)=0$ . De plus, si $\omega_{i}$ , pour $i=1,2$ , sont vecteurs de Wu de $b\/$ -Lagrangiens $L_{i}$ de formes quadratiques $q_{i}$ , alors $\omega=\omega_{1}+\omega_{2}$ est vecteur de Wu du $b\/$ -Lagrangien $L_{1}\oplus L_{2}$ de la somme orthogonale $q=q_{1}\oplus q_{2}$ avec $q\,(\omega)=q_{1}\,(\omega)+q_{2}\,(\omega)$ . Ainsi pour que ${\rm Parf\/}$ soit un morphisme bien défini sur le groupe de Witt quadratique il suffit, d’après le Lemme 1, de montrer que deux $b\/$ -Lagrangiens $L_{1}$ et $L_{2}$ d’une forme quadratique $q$ ont un vecteur de Wu commun : Soit $\omega_{i}\/$ vecteur de Wu de $L_{i}$ . Pour $l$ dans $L_{1}\cap L_{2}$ on a $b\,(\omega_{1}-\omega_{2},\,l)=q\,(l)-q\,(l)=0$ . Ainsi $\omega_{1}-\omega_{2}$ , étant dans l’orthogonal $(L_{1}\cap L_{2})^{\perp}=L_{1}^{\perp}+L_{2}^{\perp}$ , s’écrit $\omega_{1}-\omega_{2}=m_{1}+m_{2}$ où $m_{i}$ est dans $L_{i}^{\perp}=L_{i}$ . Le vecteur de Wu $\omega_{1}-m_{1}=\omega_{2}+m_{2}$ convient.

Soit $q$ un représentant anisotrope du noyau de ${\rm Parf\/}$ . D’après le ${\sc Lemme1\/}$ un $b\/$ -Lagrangien $L$ a un vecteur de Wu $\omega$ avec $q\,(\omega)=0$ donc $\omega=0$ puisque $q$ est anisotrope. Ainsi $q\,(L)=0$ donc $L=0$ et $V=0$ , d’où l’injectivité.

Pour tout élément $\lambda$ de $K$ , le $b\/$ -Lagrangien $K\,e$ de la forme quadratique $q_{\lambda}$ définie sur l’espace vectoriel de base $e,\,f$ par $q_{\lambda}(e)=1,\,b_{\lambda}\,(e,f)=1$ et $q_{\lambda}\,(f)=\lambda$ a $f$ comme vecteur de Wu et donc ${\rm Parf\/}\,(q)=[\lambda]$ , d’où la surjectivité.

4. L’invariant de Arf. — Soit $k$ un corps de caractéristique $2$ dont une clôture parfaite est notée $\iota:k\subset K$ . D’après la Proposition et le Lemme 0 il y a un morphisme de groupe ${\rm Arf\/}:WQ\,(k)\rightarrow k/{\cal P\/}\,(k)$ rendant commutatif le diagramme :

\begin{array}[]{ccccc}WQ\,(k)&&\xrightarrow[]{\rm Arf\/}&&k/{\cal P\/}\,(k)\\ \ \ \downarrow{WQ\,(\iota)}&&&&\downarrow{\iota}\\ WQ\,(K)&&\xrightarrow[\sim]{\rm Parf\/}&&K/{\cal P\/}\,(K)\\ \end{array}

Soit $q:V\rightarrow k$ une forme quadratique non dégénérée sur $k$ . Sa forme bilinéaire $b$ a une base symplectique $e_{1},f_{1},\ldots,e_{n},f_{n}$ . Alors, comme $b\,(e_{i},\,e_{j})=b\,(f_{i},\,f_{j})=0$ et $b\,(e_{i},\,f_{j})=\delta_{i\,j}$ pour $i,\,j=1,\ldots,n$ , l’élément $\omega=\sqrt{q\,(e_{1})}\,f_{1}+\cdots+\sqrt{q\,(e_{n})}\,f_{n}$ de $V\otimes K$ est vecteur de Wu du Lagrangien $K\,e_{1}\oplus\cdots\oplus K\,e_{n}$ de l’extension de $q$ à $K$ et $q\,(\omega)=q\,(e_{1})\,q\,(f_{1})+\cdots+q\,(e_{n})\,q\,(f_{n})$ . On retrouve et complète le

Théorème de Arf (C.f. [1] Satz 5, [3] Appendix 1). — La classe modulo ${\cal P\/}\,(k)$ de $q\,(e_{1})\,q\,(f_{1})+\cdots+q\,(e_{n})\,q\,(f_{n})$ ne dépend pas du choix de la base symplectique. C’est l’invariant de Arf ${\rm Arf\/}\,(q)$ de la forme quadratique $q$ , un morphisme du groupe de Witt quadratique de $k$ sur le conoyau de son Artin-Schreier.

{\rm Arf\/}:WQ\,(k)\rightarrow k/{\cal P\/}\,(k)\xleftarrow[\sim]{W}Q\,(K)

s’identifiant au passage au groupe de Witt quadratique de la clôture parfaite $K$ .

Remerciements . — Manifestons notre sympathie à Monsieur Carreira dont les doigts habiles sont responsables de l’avenante frappe du manuscript.

Références

[1] C. Arf. — Untersuchungen űber quadratische Formen in Kőrpern der Characteristic 2., J. Reine Angew. Math. 183, 148-167 (1941).

[2] J. Barge, J. Lannes, F. Latour et P. Vogel. — Appendice de $\Lambda\/$ -Sphères, Ann. scient. Éc. Norm. Sup., 8, fasc. 4, 494-505 (1974).

[3] J. Milnor et D. Husemoller. — Symmetric bilinear forms, Springer Verlag, (1973).

Metteur en scène et secrétaire : Alexis Marin Bozonat courriel : alexis.charles.marin@gmail.com

Institut Fourier, UMR 5582, Laboratoire de Mathématiques Université Grenoble Alpes, CS 40700, 38058 Grenoble cedex 9, France

Une remarque sur l’invariant de Arf.

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